Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62769 / 76978
↖ ↑ ↗
← S 29.959694°
W  7.599792°		 ← 264.61 m → S 29.959694°
W  7.597046°		 →
↑
264.59 m
↓
↑
264.59 m
↓
S 29.962073°
W  7.599792°		 ← 264.61 m →
70 013 m²		 S 29.962073°
W  7.597046°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62769 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76978 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478893280029297 y=0.587299346923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478893280029297 × 217)
    floor (0.478893280029297 × 131072)
    floor (62769.5)     		tx = 62769
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587299346923828 × 217)
    floor (0.587299346923828 × 131072)
    floor (76978.5)     		ty = 76978
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62769 / 76978 ti = "17/62769/76978"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62769/76978.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62769 ÷ 217
    62769 ÷ 131072     		x = 0.478889465332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76978 ÷ 217
    76978 ÷ 131072     		y = 0.587295532226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478889465332031 × 2 - 1) × π
    -0.0422210693359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.13264140
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.587295532226562 × 2 - 1) × π
    -0.174591064453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.548494005452682
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13264140} λ = -0.13264140}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.548494005452682))-π/2
    2×atan(0.577819348244292)-π/2
    2×0.523950513430791-π/2
    1.04790102686158-1.57079632675     		φ = -0.52289530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13264140} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.599792°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52289530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.959694°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62769 KachelY 76978 -0.13264140 -0.52289530 -7.599792 -29.959694
    Oben rechts KachelX + 1 62770 KachelY 76978 -0.13259346 -0.52289530 -7.597046 -29.959694
    Unten links KachelX 62769 KachelY + 1 76979 -0.13264140 -0.52293683 -7.599792 -29.962073
    Unten rechts KachelX + 1 62770 KachelY + 1 76979 -0.13259346 -0.52293683 -7.597046 -29.962073
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52289530--0.52293683) × R
    4.15300000000673e-05 × 6371000     		dl = 264.587630000429m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52289530--0.52293683) × R
    4.15300000000673e-05 × 6371000     		dr = 264.587630000429m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13264140--0.13259346) × cos(-0.52289530) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.866376927266162 × 6371000     		do = 264.613814129173m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13264140--0.13259346) × cos(-0.52293683) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.866356186825394 × 6371000     		du = 264.607479464704m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52289530)-sin(-0.52293683))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.866376927266162-0.866356186825394)×R²
    abs(-0.13259346--0.13264140)×2.07404407680523e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.07404407680523e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.07404407680523e-05×40589641000000     		ar = 70012.7039188468m²