Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62768 / 79314
↖ ↑ ↗
← S 35.357696°
W  7.602539°		 ← 249.09 m → S 35.357696°
W  7.599792°		 →
↑
249.11 m
↓
↑
249.11 m
↓
S 35.359936°
W  7.602539°		 ← 249.08 m →
62 049 m²		 S 35.359936°
W  7.599792°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62768 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 79314 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478885650634766 y=0.605121612548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478885650634766 × 217)
    floor (0.478885650634766 × 131072)
    floor (62768.5)     		tx = 62768
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.605121612548828 × 217)
    floor (0.605121612548828 × 131072)
    floor (79314.5)     		ty = 79314
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62768 / 79314 ti = "17/62768/79314"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62768/79314.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62768 ÷ 217
    62768 ÷ 131072     		x = 0.4788818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 79314 ÷ 217
    79314 ÷ 131072     		y = 0.605117797851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4788818359375 × 2 - 1) × π
    -0.042236328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.13268934
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.605117797851562 × 2 - 1) × π
    -0.210235595703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.660474602965134
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13268934} λ = -0.13268934}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.660474602965134))-π/2
    2×atan(0.516606093516466)-π/2
    2×0.476844056061216-π/2
    0.953688112122432-1.57079632675     		φ = -0.61710821
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13268934} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.602539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.61710821 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -35.357696°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62768 KachelY 79314 -0.13268934 -0.61710821 -7.602539 -35.357696
    Oben rechts KachelX + 1 62769 KachelY 79314 -0.13264140 -0.61710821 -7.599792 -35.357696
    Unten links KachelX 62768 KachelY + 1 79315 -0.13268934 -0.61714731 -7.602539 -35.359936
    Unten rechts KachelX + 1 62769 KachelY + 1 79315 -0.13264140 -0.61714731 -7.599792 -35.359936
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.61710821--0.61714731) × R
    3.90999999999586e-05 × 6371000     		dl = 249.106099999736m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.61710821--0.61714731) × R
    3.90999999999586e-05 × 6371000     		dr = 249.106099999736m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13268934--0.13264140) × cos(-0.61710821) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.81555528298128 × 6371000     		do = 249.091575815448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13268934--0.13264140) × cos(-0.61714731) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.815532656002372 × 6371000     		du = 249.084664953671m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.61710821)-sin(-0.61714731))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.81555528298128-0.815532656002372)×R²
    abs(-0.13264140--0.13268934)×2.26269789087574e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.26269789087574e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.26269789087574e-05×40589641000000     		ar = 62049.3702331447m²