Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62768 / 76973
↖ ↑ ↗
← S 29.947795°
W  7.602539°		 ← 264.65 m → S 29.947795°
W  7.599792°		 →
↑
264.65 m
↓
↑
264.65 m
↓
S 29.950175°
W  7.602539°		 ← 264.64 m →
70 038 m²		 S 29.950175°
W  7.599792°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62768 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76973 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478885650634766 y=0.587261199951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478885650634766 × 217)
    floor (0.478885650634766 × 131072)
    floor (62768.5)     		tx = 62768
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587261199951172 × 217)
    floor (0.587261199951172 × 131072)
    floor (76973.5)     		ty = 76973
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62768 / 76973 ti = "17/62768/76973"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62768/76973.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62768 ÷ 217
    62768 ÷ 131072     		x = 0.4788818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76973 ÷ 217
    76973 ÷ 131072     		y = 0.587257385253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4788818359375 × 2 - 1) × π
    -0.042236328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.13268934
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.587257385253906 × 2 - 1) × π
    -0.174514770507812 × 3.1415926535     		Φ = -0.548254320954582
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13268934} λ = -0.13268934}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.548254320954582))-π/2
    2×atan(0.577957859183568)-π/2
    2×0.524054348203727-π/2
    1.04810869640745-1.57079632675     		φ = -0.52268763
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13268934} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.602539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52268763 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.947795°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62768 KachelY 76973 -0.13268934 -0.52268763 -7.602539 -29.947795
    Oben rechts KachelX + 1 62769 KachelY 76973 -0.13264140 -0.52268763 -7.599792 -29.947795
    Unten links KachelX 62768 KachelY + 1 76974 -0.13268934 -0.52272917 -7.602539 -29.950175
    Unten rechts KachelX + 1 62769 KachelY + 1 76974 -0.13264140 -0.52272917 -7.599792 -29.950175
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52268763--0.52272917) × R
    4.15400000000066e-05 × 6371000     		dl = 264.651340000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52268763--0.52272917) × R
    4.15400000000066e-05 × 6371000     		dr = 264.651340000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13268934--0.13264140) × cos(-0.52268763) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.866480617039365 × 6371000     		do = 264.645483654884m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13268934--0.13264140) × cos(-0.52272917) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.866459879078585 × 6371000     		du = 264.639149747867m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52268763)-sin(-0.52272917))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.866480617039365-0.866459879078585)×R²
    abs(-0.13264140--0.13268934)×2.07379607790603e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.07379607790603e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.07379607790603e-05×40589641000000     		ar = 70037.9437458463m²