Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62768 / 31536
↖ ↑ ↗
← N 67.825836°
W  7.602539°		 ← 115.27 m → N 67.825836°
W  7.599792°		 →
↑
115.25 m
↓
↑
115.25 m
↓
N 67.824800°
W  7.602539°		 ← 115.28 m →
13 286 m²		 N 67.824800°
W  7.599792°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62768 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31536 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478885650634766 y=0.240604400634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478885650634766 × 217)
    floor (0.478885650634766 × 131072)
    floor (62768.5)     		tx = 62768
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.240604400634766 × 217)
    floor (0.240604400634766 × 131072)
    floor (31536.5)     		ty = 31536
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62768 / 31536 ti = "17/62768/31536"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62768/31536.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62768 ÷ 217
    62768 ÷ 131072     		x = 0.4788818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31536 ÷ 217
    31536 ÷ 131072     		y = 0.2406005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4788818359375 × 2 - 1) × π
    -0.042236328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.13268934
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2406005859375 × 2 - 1) × π
    0.518798828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.62985458708191
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13268934} λ = -0.13268934}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.62985458708191))-π/2
    2×atan(5.10313260317822)-π/2
    2×1.37729024476238-π/2
    2.75458048952476-1.57079632675     		φ = 1.18378416
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13268934} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.602539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18378416 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.825836°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62768 KachelY 31536 -0.13268934 1.18378416 -7.602539 67.825836
    Oben rechts KachelX + 1 62769 KachelY 31536 -0.13264140 1.18378416 -7.599792 67.825836
    Unten links KachelX 62768 KachelY + 1 31537 -0.13268934 1.18376607 -7.602539 67.824800
    Unten rechts KachelX + 1 62769 KachelY + 1 31537 -0.13264140 1.18376607 -7.599792 67.824800
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18378416-1.18376607) × R
    1.80900000001927e-05 × 6371000     		dl = 115.251390001228m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18378416-1.18376607) × R
    1.80900000001927e-05 × 6371000     		dr = 115.251390001228m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13268934--0.13264140) × cos(1.18378416) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.377423248236351 × 6371000     		do = 115.274774885782m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13268934--0.13264140) × cos(1.18376607) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.377440000253922 × 6371000     		du = 115.279891383145m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18378416)-sin(1.18376607))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.377423248236351-0.377440000253922)×R²
    abs(-0.13264140--0.13268934)×1.67520175701208e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.67520175701208e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.67520175701208e-05×40589641000000     		ar = 13285.8728796479m²