Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62766 / 76714
↖ ↑ ↗
← S 29.329510°
W  7.608032°		 ← 266.22 m → S 29.329510°
W  7.605286°		 →
↑
266.24 m
↓
↑
266.24 m
↓
S 29.331904°
W  7.608032°		 ← 266.21 m →
70 879 m²		 S 29.331904°
W  7.605286°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62766 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76714 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478870391845703 y=0.585285186767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478870391845703 × 217)
    floor (0.478870391845703 × 131072)
    floor (62766.5)     		tx = 62766
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585285186767578 × 217)
    floor (0.585285186767578 × 131072)
    floor (76714.5)     		ty = 76714
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62766 / 76714 ti = "17/62766/76714"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62766/76714.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62766 ÷ 217
    62766 ÷ 131072     		x = 0.478866577148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76714 ÷ 217
    76714 ÷ 131072     		y = 0.585281372070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478866577148438 × 2 - 1) × π
    -0.042266845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.13278521
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585281372070312 × 2 - 1) × π
    -0.170562744140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.535838663952988
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13278521} λ = -0.13278521}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.535838663952988))-π/2
    2×atan(0.585178316332574)-π/2
    2×0.52944991069148-π/2
    1.05889982138296-1.57079632675     		φ = -0.51189651
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13278521} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.608032°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51189651 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.329510°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62766 KachelY 76714 -0.13278521 -0.51189651 -7.608032 -29.329510
    Oben rechts KachelX + 1 62767 KachelY 76714 -0.13273728 -0.51189651 -7.605286 -29.329510
    Unten links KachelX 62766 KachelY + 1 76715 -0.13278521 -0.51193830 -7.608032 -29.331904
    Unten rechts KachelX + 1 62767 KachelY + 1 76715 -0.13273728 -0.51193830 -7.605286 -29.331904
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51189651--0.51193830) × R
    4.17899999999305e-05 × 6371000     		dl = 266.244089999557m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51189651--0.51193830) × R
    4.17899999999305e-05 × 6371000     		dr = 266.244089999557m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13278521--0.13273728) × cos(-0.51189651) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.871817105648751 × 6371000     		do = 266.219841169482m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13278521--0.13273728) × cos(-0.51193830) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.871796634827568 × 6371000     		du = 266.21359015797m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51189651)-sin(-0.51193830))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.871817105648751-0.871796634827568)×R²
    abs(-0.13273728--0.13278521)×2.04708211831717e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.04708211831717e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.04708211831717e-05×40589641000000     		ar = 70878.627214944m²