Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62758 / 76894
↖ ↑ ↗
← S 29.759609°
W  7.630005°		 ← 265.14 m → S 29.759609°
W  7.627258°		 →
↑
265.10 m
↓
↑
265.10 m
↓
S 29.761993°
W  7.630005°		 ← 265.14 m →
70 288 m²		 S 29.761993°
W  7.627258°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62758 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76894 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478809356689453 y=0.586658477783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478809356689453 × 217)
    floor (0.478809356689453 × 131072)
    floor (62758.5)     		tx = 62758
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586658477783203 × 217)
    floor (0.586658477783203 × 131072)
    floor (76894.5)     		ty = 76894
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62758 / 76894 ti = "17/62758/76894"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62758/76894.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62758 ÷ 217
    62758 ÷ 131072     		x = 0.478805541992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76894 ÷ 217
    76894 ÷ 131072     		y = 0.586654663085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478805541992188 × 2 - 1) × π
    -0.042388916015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.13316871
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586654663085938 × 2 - 1) × π
    -0.173309326171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.544467305884598
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13316871} λ = -0.13316871}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.544467305884598))-π/2
    2×atan(0.580150743929134)-π/2
    2×0.525696584682259-π/2
    1.05139316936452-1.57079632675     		φ = -0.51940316
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13316871} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.630005°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51940316 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.759609°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62758 KachelY 76894 -0.13316871 -0.51940316 -7.630005 -29.759609
    Oben rechts KachelX + 1 62759 KachelY 76894 -0.13312077 -0.51940316 -7.627258 -29.759609
    Unten links KachelX 62758 KachelY + 1 76895 -0.13316871 -0.51944477 -7.630005 -29.761993
    Unten rechts KachelX + 1 62759 KachelY + 1 76895 -0.13312077 -0.51944477 -7.627258 -29.761993
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51940316--0.51944477) × R
    4.16100000000252e-05 × 6371000     		dl = 265.097310000161m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51940316--0.51944477) × R
    4.16100000000252e-05 × 6371000     		dr = 265.097310000161m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13316871--0.13312077) × cos(-0.51940316) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.868115583035119 × 6371000     		do = 265.144844354012m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13316871--0.13312077) × cos(-0.51944477) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.868094928656612 × 6371000     		du = 265.138535975173m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51940316)-sin(-0.51944477))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.868115583035119-0.868094928656612)×R²
    abs(-0.13312077--0.13316871)×2.06543785066238e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.06543785066238e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.06543785066238e-05×40589641000000     		ar = 70288.3488416651m²