Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62757 / 76899
↖ ↑ ↗
← S 29.771530°
W  7.632751°		 ← 265.06 m → S 29.771530°
W  7.630005°		 →
↑
265.10 m
↓
↑
265.10 m
↓
S 29.773914°
W  7.632751°		 ← 265.05 m →
70 265 m²		 S 29.773914°
W  7.630005°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62757 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76899 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478801727294922 y=0.586696624755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478801727294922 × 217)
    floor (0.478801727294922 × 131072)
    floor (62757.5)     		tx = 62757
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586696624755859 × 217)
    floor (0.586696624755859 × 131072)
    floor (76899.5)     		ty = 76899
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62757 / 76899 ti = "17/62757/76899"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62757/76899.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62757 ÷ 217
    62757 ÷ 131072     		x = 0.478797912597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76899 ÷ 217
    76899 ÷ 131072     		y = 0.586692810058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478797912597656 × 2 - 1) × π
    -0.0424041748046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13321664
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586692810058594 × 2 - 1) × π
    -0.173385620117188 × 3.1415926535     		Φ = -0.544706990382698
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13321664} λ = -0.13321664}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.544706990382698))-π/2
    2×atan(0.580011707452362)-π/2
    2×0.525592553947357-π/2
    1.05118510789471-1.57079632675     		φ = -0.51961122
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13321664} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.632751°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51961122 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.771530°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62757 KachelY 76899 -0.13321664 -0.51961122 -7.632751 -29.771530
    Oben rechts KachelX + 1 62758 KachelY 76899 -0.13316871 -0.51961122 -7.630005 -29.771530
    Unten links KachelX 62757 KachelY + 1 76900 -0.13321664 -0.51965283 -7.632751 -29.773914
    Unten rechts KachelX + 1 62758 KachelY + 1 76900 -0.13316871 -0.51965283 -7.630005 -29.773914
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51961122--0.51965283) × R
    4.16099999999142e-05 × 6371000     		dl = 265.097309999453m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51961122--0.51965283) × R
    4.16099999999142e-05 × 6371000     		dr = 265.097309999453m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13321664--0.13316871) × cos(-0.51961122) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.868012291147389 × 6371000     		do = 265.057995289726m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13321664--0.13316871) × cos(-0.51965283) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.867991629253815 × 6371000     		du = 265.051685931961m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51961122)-sin(-0.51965283))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.868012291147389-0.867991629253815)×R²
    abs(-0.13316871--0.13321664)×2.06618935736369e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.06618935736369e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.06618935736369e-05×40589641000000     		ar = 70265.3252583823m²