Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62756 / 39520
↖ ↑ ↗
← N 57.938183°
W  7.635498°		 ← 162.13 m → N 57.938183°
W  7.632751°		 →
↑
162.14 m
↓
↑
162.14 m
↓
N 57.936725°
W  7.635498°		 ← 162.14 m →
26 289 m²		 N 57.936725°
W  7.632751°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62756 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39520 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478794097900391 y=0.301517486572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478794097900391 × 217)
    floor (0.478794097900391 × 131072)
    floor (62756.5)     		tx = 62756
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301517486572266 × 217)
    floor (0.301517486572266 × 131072)
    floor (39520.5)     		ty = 39520
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62756 / 39520 ti = "17/62756/39520"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62756/39520.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62756 ÷ 217
    62756 ÷ 131072     		x = 0.478790283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39520 ÷ 217
    39520 ÷ 131072     		y = 0.301513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478790283203125 × 2 - 1) × π
    -0.04241943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.13326458
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.301513671875 × 2 - 1) × π
    0.39697265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.24712638051538
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13326458} λ = -0.13326458}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24712638051538))-π/2
    2×atan(3.48032743722042)-π/2
    2×1.291004191481-π/2
    2.582008382962-1.57079632675     		φ = 1.01121206
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13326458} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.635498°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01121206 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.938183°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62756 KachelY 39520 -0.13326458 1.01121206 -7.635498 57.938183
    Oben rechts KachelX + 1 62757 KachelY 39520 -0.13321664 1.01121206 -7.632751 57.938183
    Unten links KachelX 62756 KachelY + 1 39521 -0.13326458 1.01118661 -7.635498 57.936725
    Unten rechts KachelX + 1 62757 KachelY + 1 39521 -0.13321664 1.01118661 -7.632751 57.936725
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01121206-1.01118661) × R
    2.54500000000935e-05 × 6371000     		dl = 162.141950000595m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01121206-1.01118661) × R
    2.54500000000935e-05 × 6371000     		dr = 162.141950000595m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13326458--0.13321664) × cos(1.01121206) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.530833919944645 × 6371000     		do = 162.130342816181m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13326458--0.13321664) × cos(1.01118661) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.530855488033611 × 6371000     		du = 162.136930265714m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01121206)-sin(1.01118661))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.530833919944645-0.530855488033611)×R²
    abs(-0.13321664--0.13326458)×2.15680889660286e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.15680889660286e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.15680889660286e-05×40589641000000     		ar = 26288.6639906754m²