Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62755 / 39519
↖ ↑ ↗
← N 57.939641°
W  7.638245°		 ← 162.12 m → N 57.939641°
W  7.635498°		 →
↑
162.08 m
↓
↑
162.08 m
↓
N 57.938183°
W  7.638245°		 ← 162.13 m →
26 277 m²		 N 57.938183°
W  7.635498°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62755 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39519 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478786468505859 y=0.301509857177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478786468505859 × 217)
    floor (0.478786468505859 × 131072)
    floor (62755.5)     		tx = 62755
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301509857177734 × 217)
    floor (0.301509857177734 × 131072)
    floor (39519.5)     		ty = 39519
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62755 / 39519 ti = "17/62755/39519"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62755/39519.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62755 ÷ 217
    62755 ÷ 131072     		x = 0.478782653808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39519 ÷ 217
    39519 ÷ 131072     		y = 0.301506042480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478782653808594 × 2 - 1) × π
    -0.0424346923828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.13331252
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.301506042480469 × 2 - 1) × π
    0.396987915039062 × 3.1415926535     		Φ = 1.247174317415
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13331252} λ = -0.13331252}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.247174317415))-π/2
    2×atan(3.48049427732629)-π/2
    2×1.29101691448881-π/2
    2.58203382897761-1.57079632675     		φ = 1.01123750
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13331252} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.638245°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01123750 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.939641°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62755 KachelY 39519 -0.13331252 1.01123750 -7.638245 57.939641
    Oben rechts KachelX + 1 62756 KachelY 39519 -0.13326458 1.01123750 -7.635498 57.939641
    Unten links KachelX 62755 KachelY + 1 39520 -0.13331252 1.01121206 -7.638245 57.938183
    Unten rechts KachelX + 1 62756 KachelY + 1 39520 -0.13326458 1.01121206 -7.635498 57.938183
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01123750-1.01121206) × R
    2.54399999999322e-05 × 6371000     		dl = 162.078239999568m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01123750-1.01121206) × R
    2.54399999999322e-05 × 6371000     		dr = 162.078239999568m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13331252--0.13326458) × cos(1.01123750) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.53081235998675 × 6371000     		do = 162.123757850087m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13331252--0.13326458) × cos(1.01121206) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.530833919944645 × 6371000     		du = 162.130342816181m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01123750)-sin(1.01121206))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.53081235998675-0.530833919944645)×R²
    abs(-0.13326458--0.13331252)×2.15599578946568e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.15599578946568e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.15599578946568e-05×40589641000000     		ar = 26277.2669758192m²