Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62753 / 39526
↖ ↑ ↗
← N 57.929434°
W  7.643738°		 ← 162.17 m → N 57.929434°
W  7.640991°		 →
↑
162.14 m
↓
↑
162.14 m
↓
N 57.927976°
W  7.643738°		 ← 162.18 m →
26 295 m²		 N 57.927976°
W  7.640991°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62753 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39526 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478771209716797 y=0.301563262939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478771209716797 × 217)
    floor (0.478771209716797 × 131072)
    floor (62753.5)     		tx = 62753
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301563262939453 × 217)
    floor (0.301563262939453 × 131072)
    floor (39526.5)     		ty = 39526
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62753 / 39526 ti = "17/62753/39526"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62753/39526.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62753 ÷ 217
    62753 ÷ 131072     		x = 0.478767395019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39526 ÷ 217
    39526 ÷ 131072     		y = 0.301559448242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478767395019531 × 2 - 1) × π
    -0.0424652099609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.13340839
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.301559448242188 × 2 - 1) × π
    0.396881103515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.24683875911766
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13340839} λ = -0.13340839}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24683875911766))-π/2
    2×atan(3.4793265645215)-π/2
    2×1.2909278425791-π/2
    2.58185568515819-1.57079632675     		φ = 1.01105936
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13340839} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.643738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01105936 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.929434°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62753 KachelY 39526 -0.13340839 1.01105936 -7.643738 57.929434
    Oben rechts KachelX + 1 62754 KachelY 39526 -0.13336045 1.01105936 -7.640991 57.929434
    Unten links KachelX 62753 KachelY + 1 39527 -0.13340839 1.01103391 -7.643738 57.927976
    Unten rechts KachelX + 1 62754 KachelY + 1 39527 -0.13336045 1.01103391 -7.640991 57.927976
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01105936-1.01103391) × R
    2.54499999998714e-05 × 6371000     		dl = 162.141949999181m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01105936-1.01103391) × R
    2.54499999998714e-05 × 6371000     		dr = 162.141949999181m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13340839--0.13336045) × cos(1.01105936) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.530963323320615 × 6371000     		do = 162.169865938046m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13340839--0.13336045) × cos(1.01103391) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.530984889346353 × 6371000     		du = 162.176452757415m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01105936)-sin(1.01103391))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.530963323320615-0.530984889346353)×R²
    abs(-0.13336045--0.13340839)×2.15660257377737e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.15660257377737e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.15660257377737e-05×40589641000000     		ar = 26295.0722955921m²