Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62751 / 39528
↖ ↑ ↗
← N 57.926517°
W  7.649231°		 ← 162.18 m → N 57.926517°
W  7.646484°		 →
↑
162.14 m
↓
↑
162.14 m
↓
N 57.925059°
W  7.649231°		 ← 162.19 m →
26 297 m²		 N 57.925059°
W  7.646484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62751 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39528 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478755950927734 y=0.301578521728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478755950927734 × 217)
    floor (0.478755950927734 × 131072)
    floor (62751.5)     		tx = 62751
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301578521728516 × 217)
    floor (0.301578521728516 × 131072)
    floor (39528.5)     		ty = 39528
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62751 / 39528 ti = "17/62751/39528"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62751/39528.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62751 ÷ 217
    62751 ÷ 131072     		x = 0.478752136230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39528 ÷ 217
    39528 ÷ 131072     		y = 0.30157470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478752136230469 × 2 - 1) × π
    -0.0424957275390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.13350427
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30157470703125 × 2 - 1) × π
    0.3968505859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.24674288531842
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13350427} λ = -0.13350427}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24674288531842))-π/2
    2×atan(3.47899300425507)-π/2
    2×1.29090238880955-π/2
    2.58180477761911-1.57079632675     		φ = 1.01100845
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13350427} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.649231°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01100845 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.926517°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62751 KachelY 39528 -0.13350427 1.01100845 -7.649231 57.926517
    Oben rechts KachelX + 1 62752 KachelY 39528 -0.13345633 1.01100845 -7.646484 57.926517
    Unten links KachelX 62751 KachelY + 1 39529 -0.13350427 1.01098300 -7.649231 57.925059
    Unten rechts KachelX + 1 62752 KachelY + 1 39529 -0.13345633 1.01098300 -7.646484 57.925059
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01100845-1.01098300) × R
    2.54500000000935e-05 × 6371000     		dl = 162.141950000595m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01100845-1.01098300) × R
    2.54500000000935e-05 × 6371000     		dr = 162.141950000595m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13350427--0.13345633) × cos(1.01100845) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.531006463501848 × 6371000     		do = 162.183042059823m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13350427--0.13345633) × cos(1.01098300) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.531028028839597 × 6371000     		du = 162.189628669063m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01100845)-sin(1.01098300))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.531006463501848-0.531028028839597)×R²
    abs(-0.13345633--0.13350427)×2.15653377484415e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.15653377484415e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.15653377484415e-05×40589641000000     		ar = 26297.2086808845m²