Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62751 / 39527
↖ ↑ ↗
← N 57.927976°
W  7.649231°		 ← 162.18 m → N 57.927976°
W  7.646484°		 →
↑
162.21 m
↓
↑
162.21 m
↓
N 57.926517°
W  7.649231°		 ← 162.18 m →
26 306 m²		 N 57.926517°
W  7.646484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62751 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39527 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478755950927734 y=0.301570892333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478755950927734 × 217)
    floor (0.478755950927734 × 131072)
    floor (62751.5)     		tx = 62751
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301570892333984 × 217)
    floor (0.301570892333984 × 131072)
    floor (39527.5)     		ty = 39527
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62751 / 39527 ti = "17/62751/39527"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62751/39527.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62751 ÷ 217
    62751 ÷ 131072     		x = 0.478752136230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39527 ÷ 217
    39527 ÷ 131072     		y = 0.301567077636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478752136230469 × 2 - 1) × π
    -0.0424957275390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.13350427
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.301567077636719 × 2 - 1) × π
    0.396865844726562 × 3.1415926535     		Φ = 1.24679082221804
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13350427} λ = -0.13350427}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24679082221804))-π/2
    2×atan(3.47915978039082)-π/2
    2×1.29091511595281-π/2
    2.58183023190563-1.57079632675     		φ = 1.01103391
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13350427} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.649231°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01103391 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.927976°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62751 KachelY 39527 -0.13350427 1.01103391 -7.649231 57.927976
    Oben rechts KachelX + 1 62752 KachelY 39527 -0.13345633 1.01103391 -7.646484 57.927976
    Unten links KachelX 62751 KachelY + 1 39528 -0.13350427 1.01100845 -7.649231 57.926517
    Unten rechts KachelX + 1 62752 KachelY + 1 39528 -0.13345633 1.01100845 -7.646484 57.926517
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01103391-1.01100845) × R
    2.54600000000327e-05 × 6371000     		dl = 162.205660000208m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01103391-1.01100845) × R
    2.54600000000327e-05 × 6371000     		dr = 162.205660000208m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13350427--0.13345633) × cos(1.01103391) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.530984889346353 × 6371000     		do = 162.176452757415m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13350427--0.13345633) × cos(1.01100845) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.531006463501848 × 6371000     		du = 162.183042059823m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01103391)-sin(1.01100845))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.530984889346353-0.531006463501848)×R²
    abs(-0.13345633--0.13350427)×2.15741554954185e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.15741554954185e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.15741554954185e-05×40589641000000     		ar = 26306.4729683474m²