Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 6275 / 8834
↖ ↑ ↗
← N 63.538763°
W111.060791°		 ← 544.32 m → N 63.538763°
W111.049805°		 →
↑
544.40 m
↓
↑
544.40 m
↓
N 63.533867°
W111.060791°		 ← 544.42 m →
296 357 m²		 N 63.533867°
W111.049805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6275 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8834 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.191513061523438 y=0.269607543945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.191513061523438 × 215)
    floor (0.191513061523438 × 32768)
    floor (6275.5)     		tx = 6275
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.269607543945312 × 215)
    floor (0.269607543945312 × 32768)
    floor (8834.5)     		ty = 8834
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 6275 / 8834 ti = "15/6275/8834"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/6275/8834.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6275 ÷ 215
    6275 ÷ 32768     		x = 0.191497802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8834 ÷ 215
    8834 ÷ 32768     		y = 0.26959228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.191497802734375 × 2 - 1) × π
    -0.61700439453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.93837647
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26959228515625 × 2 - 1) × π
    0.4608154296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.4476943685257
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.93837647} λ = -1.93837647}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4476943685257))-π/2
    2×atan(4.25329666668357)-π/2
    2×1.33987847247236-π/2
    2.67975694494471-1.57079632675     		φ = 1.10896062
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.93837647} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -111.060791°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10896062 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.538763°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6275 KachelY 8834 -1.93837647 1.10896062 -111.060791 63.538763
    Oben rechts KachelX + 1 6276 KachelY 8834 -1.93818473 1.10896062 -111.049805 63.538763
    Unten links KachelX 6275 KachelY + 1 8835 -1.93837647 1.10887517 -111.060791 63.533867
    Unten rechts KachelX + 1 6276 KachelY + 1 8835 -1.93818473 1.10887517 -111.049805 63.533867
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10896062-1.10887517) × R
    8.54500000000424e-05 × 6371000     		dl = 544.40195000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10896062-1.10887517) × R
    8.54500000000424e-05 × 6371000     		dr = 544.40195000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.93837647--1.93818473) × cos(1.10896062) × R
    0.000191739999999996 × 0.445592247687712 × 6371000     		do = 544.324590588918m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.93837647--1.93818473) × cos(1.10887517) × R
    0.000191739999999996 × 0.445668743979562 × 6371000     		du = 544.418036587943m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10896062)-sin(1.10887517))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.445592247687712-0.445668743979562)×R²
    abs(-1.93818473--1.93837647)×7.64962918503587e-05×R²
    0.000191739999999996×7.64962918503587e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.64962918503587e-05×40589641000000     		ar = 296356.804821927m²