Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62749 / 76981
↖ ↑ ↗
← S 29.966832°
W  7.654724°		 ← 264.59 m → S 29.966832°
W  7.651977°		 →
↑
264.59 m
↓
↑
264.59 m
↓
S 29.969212°
W  7.654724°		 ← 264.59 m →
70 008 m²		 S 29.969212°
W  7.651977°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62749 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76981 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478740692138672 y=0.587322235107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478740692138672 × 217)
    floor (0.478740692138672 × 131072)
    floor (62749.5)     		tx = 62749
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587322235107422 × 217)
    floor (0.587322235107422 × 131072)
    floor (76981.5)     		ty = 76981
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62749 / 76981 ti = "17/62749/76981"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62749/76981.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62749 ÷ 217
    62749 ÷ 131072     		x = 0.478736877441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76981 ÷ 217
    76981 ÷ 131072     		y = 0.587318420410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478736877441406 × 2 - 1) × π
    -0.0425262451171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13360014
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.587318420410156 × 2 - 1) × π
    -0.174636840820312 × 3.1415926535     		Φ = -0.548637816151543
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13360014} λ = -0.13360014}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.548637816151543))-π/2
    2×atan(0.57773625761481)-π/2
    2×0.523888218532221-π/2
    1.04777643706444-1.57079632675     		φ = -0.52301989
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13360014} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.654724°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52301989 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.966832°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62749 KachelY 76981 -0.13360014 -0.52301989 -7.654724 -29.966832
    Oben rechts KachelX + 1 62750 KachelY 76981 -0.13355220 -0.52301989 -7.651977 -29.966832
    Unten links KachelX 62749 KachelY + 1 76982 -0.13360014 -0.52306142 -7.654724 -29.969212
    Unten rechts KachelX + 1 62750 KachelY + 1 76982 -0.13355220 -0.52306142 -7.651977 -29.969212
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52301989--0.52306142) × R
    4.15299999999563e-05 × 6371000     		dl = 264.587629999722m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52301989--0.52306142) × R
    4.15299999999563e-05 × 6371000     		dr = 264.587629999722m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13360014--0.13355220) × cos(-0.52301989) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.866314701461174 × 6371000     		do = 264.594808766638m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13360014--0.13355220) × cos(-0.52306142) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.866293956537793 × 6371000     		du = 264.588472733063m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52301989)-sin(-0.52306142))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.866314701461174-0.866293956537793)×R²
    abs(-0.13355220--0.13360014)×2.07449233803336e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.07449233803336e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.07449233803336e-05×40589641000000     		ar = 70007.6751538097m²