Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62746 / 31040
↖ ↑ ↗
← N 68.334376°
W  7.662964°		 ← 112.76 m → N 68.334376°
W  7.660217°		 →
↑
112.77 m
↓
↑
112.77 m
↓
N 68.333362°
W  7.662964°		 ← 112.76 m →
12 716 m²		 N 68.333362°
W  7.660217°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62746 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31040 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478717803955078 y=0.236820220947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478717803955078 × 217)
    floor (0.478717803955078 × 131072)
    floor (62746.5)     		tx = 62746
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.236820220947266 × 217)
    floor (0.236820220947266 × 131072)
    floor (31040.5)     		ty = 31040
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62746 / 31040 ti = "17/62746/31040"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62746/31040.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62746 ÷ 217
    62746 ÷ 131072     		x = 0.478713989257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31040 ÷ 217
    31040 ÷ 131072     		y = 0.23681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478713989257812 × 2 - 1) × π
    -0.042572021484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.13374395
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23681640625 × 2 - 1) × π
    0.5263671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.65363128929346
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13374395} λ = -0.13374395}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.65363128929346))-π/2
    2×atan(5.22592224916964)-π/2
    2×1.38172808962421-π/2
    2.76345617924841-1.57079632675     		φ = 1.19265985
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13374395} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.662964°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19265985 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.334376°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62746 KachelY 31040 -0.13374395 1.19265985 -7.662964 68.334376
    Oben rechts KachelX + 1 62747 KachelY 31040 -0.13369601 1.19265985 -7.660217 68.334376
    Unten links KachelX 62746 KachelY + 1 31041 -0.13374395 1.19264215 -7.662964 68.333362
    Unten rechts KachelX + 1 62747 KachelY + 1 31041 -0.13369601 1.19264215 -7.660217 68.333362
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19265985-1.19264215) × R
    1.77000000001204e-05 × 6371000     		dl = 112.766700000767m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19265985-1.19264215) × R
    1.77000000001204e-05 × 6371000     		dr = 112.766700000767m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13374395--0.13369601) × cos(1.19265985) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.369189238265422 × 6371000     		do = 112.759896297244m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13374395--0.13369601) × cos(1.19264215) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.369205687777666 × 6371000     		du = 112.764920401694m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19265985)-sin(1.19264215))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369189238265422-0.369205687777666)×R²
    abs(-0.13369601--0.13374395)×1.64495122436104e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.64495122436104e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.64495122436104e-05×40589641000000     		ar = 12715.8446740748m²