Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62746 / 26465
↖ ↑ ↗
← N 72.527305°
W  7.662964°		 ← 91.70 m → N 72.527305°
W  7.660217°		 →
↑
91.68 m
↓
↑
91.68 m
↓
N 72.526481°
W  7.662964°		 ← 91.71 m →
8 408 m²		 N 72.526481°
W  7.660217°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62746 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26465 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478717803955078 y=0.201915740966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478717803955078 × 217)
    floor (0.478717803955078 × 131072)
    floor (62746.5)     		tx = 62746
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.201915740966797 × 217)
    floor (0.201915740966797 × 131072)
    floor (26465.5)     		ty = 26465
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62746 / 26465 ti = "17/62746/26465"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62746/26465.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62746 ÷ 217
    62746 ÷ 131072     		x = 0.478713989257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26465 ÷ 217
    26465 ÷ 131072     		y = 0.201911926269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478713989257812 × 2 - 1) × π
    -0.042572021484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.13374395
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.201911926269531 × 2 - 1) × π
    0.596176147460938 × 3.1415926535     		Φ = 1.87294260505521
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13374395} λ = -0.13374395}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87294260505521))-π/2
    2×atan(6.50741701147903)-π/2
    2×1.41831829904481-π/2
    2.83663659808962-1.57079632675     		φ = 1.26584027
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13374395} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.662964°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26584027 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.527305°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62746 KachelY 26465 -0.13374395 1.26584027 -7.662964 72.527305
    Oben rechts KachelX + 1 62747 KachelY 26465 -0.13369601 1.26584027 -7.660217 72.527305
    Unten links KachelX 62746 KachelY + 1 26466 -0.13374395 1.26582588 -7.662964 72.526481
    Unten rechts KachelX + 1 62747 KachelY + 1 26466 -0.13369601 1.26582588 -7.660217 72.526481
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26584027-1.26582588) × R
    1.43900000000308e-05 × 6371000     		dl = 91.678690000196m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26584027-1.26582588) × R
    1.43900000000308e-05 × 6371000     		dr = 91.678690000196m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13374395--0.13369601) × cos(1.26584027) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.300251259827067 × 6371000     		do = 91.7044632186072m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13374395--0.13369601) × cos(1.26582588) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.300264985843502 × 6371000     		du = 91.7086554973342m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26584027)-sin(1.26582588))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.300251259827067-0.300264985843502)×R²
    abs(-0.13369601--0.13374395)×1.37260164351227e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.37260164351227e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.37260164351227e-05×40589641000000     		ar = 8407.53722635958m²