Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62743 / 27234
↖ ↑ ↗
← N 71.881870°
W  7.671204°		 ← 94.98 m → N 71.881870°
W  7.668457°		 →
↑
94.99 m
↓
↑
94.99 m
↓
N 71.881016°
W  7.671204°		 ← 94.98 m →
9 023 m²		 N 71.881016°
W  7.668457°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62743 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27234 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478694915771484 y=0.207782745361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478694915771484 × 217)
    floor (0.478694915771484 × 131072)
    floor (62743.5)     		tx = 62743
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.207782745361328 × 217)
    floor (0.207782745361328 × 131072)
    floor (27234.5)     		ty = 27234
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62743 / 27234 ti = "17/62743/27234"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62743/27234.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62743 ÷ 217
    62743 ÷ 131072     		x = 0.478691101074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27234 ÷ 217
    27234 ÷ 131072     		y = 0.207778930664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478691101074219 × 2 - 1) × π
    -0.0426177978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.13388776
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.207778930664062 × 2 - 1) × π
    0.584442138671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.83607912924739
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13388776} λ = -0.13388776}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83607912924739))-π/2
    2×atan(6.27189868418023)-π/2
    2×1.41268581652302-π/2
    2.82537163304604-1.57079632675     		φ = 1.25457531
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13388776} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.671204°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25457531 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.881870°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62743 KachelY 27234 -0.13388776 1.25457531 -7.671204 71.881870
    Oben rechts KachelX + 1 62744 KachelY 27234 -0.13383982 1.25457531 -7.668457 71.881870
    Unten links KachelX 62743 KachelY + 1 27235 -0.13388776 1.25456040 -7.671204 71.881016
    Unten rechts KachelX + 1 62744 KachelY + 1 27235 -0.13383982 1.25456040 -7.668457 71.881016
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25457531-1.25456040) × R
    1.49100000002012e-05 × 6371000     		dl = 94.9916100012815m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25457531-1.25456040) × R
    1.49100000002012e-05 × 6371000     		dr = 94.9916100012815m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13388776--0.13383982) × cos(1.25457531) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.31097717833644 × 6371000     		do = 94.9804348165118m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13388776--0.13383982) × cos(1.25456040) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.310991349024996 × 6371000     		du = 94.9847629095504m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25457531)-sin(1.25456040))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.31097717833644-0.310991349024996)×R²
    abs(-0.13383982--0.13388776)×1.41706885561366e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.41706885561366e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.41706885561366e-05×40589641000000     		ar = 9022.54998833097m²