Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62742 / 26462
↖ ↑ ↗
← N 72.529779°
W  7.673950°		 ← 91.69 m → N 72.529779°
W  7.671204°		 →
↑
91.68 m
↓
↑
91.68 m
↓
N 72.528955°
W  7.673950°		 ← 91.70 m →
8 406 m²		 N 72.528955°
W  7.671204°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62742 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26462 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478687286376953 y=0.201892852783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478687286376953 × 217)
    floor (0.478687286376953 × 131072)
    floor (62742.5)     		tx = 62742
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.201892852783203 × 217)
    floor (0.201892852783203 × 131072)
    floor (26462.5)     		ty = 26462
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62742 / 26462 ti = "17/62742/26462"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62742/26462.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62742 ÷ 217
    62742 ÷ 131072     		x = 0.478683471679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26462 ÷ 217
    26462 ÷ 131072     		y = 0.201889038085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478683471679688 × 2 - 1) × π
    -0.042633056640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.13393570
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.201889038085938 × 2 - 1) × π
    0.596221923828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.87308641575407
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13393570} λ = -0.13393570}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87308641575407))-π/2
    2×atan(6.50835291496208)-π/2
    2×1.41833988723575-π/2
    2.8366797744715-1.57079632675     		φ = 1.26588345
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13393570} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.673950°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26588345 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.529779°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62742 KachelY 26462 -0.13393570 1.26588345 -7.673950 72.529779
    Oben rechts KachelX + 1 62743 KachelY 26462 -0.13388776 1.26588345 -7.671204 72.529779
    Unten links KachelX 62742 KachelY + 1 26463 -0.13393570 1.26586906 -7.673950 72.528955
    Unten rechts KachelX + 1 62743 KachelY + 1 26463 -0.13388776 1.26586906 -7.671204 72.528955
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26588345-1.26586906) × R
    1.43900000000308e-05 × 6371000     		dl = 91.678690000196m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26588345-1.26586906) × R
    1.43900000000308e-05 × 6371000     		dr = 91.678690000196m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13393570--0.13388776) × cos(1.26588345) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.300210071866 × 6371000     		do = 91.6918833551193m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13393570--0.13388776) × cos(1.26586906) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.300223798068991 × 6371000     		du = 91.6960756908251m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26588345)-sin(1.26586906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.300210071866-0.300223798068991)×R²
    abs(-0.13388776--0.13393570)×1.37262029907825e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.37262029907825e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.37262029907825e-05×40589641000000     		ar = 8406.38392371951m²