Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 6274 / 7298
↖ ↑ ↗
← N 19.269666°
W 42.143555°		 ← 2 306.40 m → N 19.269666°
W 42.121582°		 →
↑
2 306.56 m
↓
↑
2 306.56 m
↓
N 19.248922°
W 42.143555°		 ← 2 306.69 m →
5 320 170 m²		 N 19.248922°
W 42.121582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6274 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7298 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.382965087890625 y=0.445465087890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.382965087890625 × 214)
    floor (0.382965087890625 × 16384)
    floor (6274.5)     		tx = 6274
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445465087890625 × 214)
    floor (0.445465087890625 × 16384)
    floor (7298.5)     		ty = 7298
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6274 / 7298 ti = "14/6274/7298"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6274/7298.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6274 ÷ 214
    6274 ÷ 16384     		x = 0.3829345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7298 ÷ 214
    7298 ÷ 16384     		y = 0.4454345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3829345703125 × 2 - 1) × π
    -0.234130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.73554379
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4454345703125 × 2 - 1) × π
    0.109130859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.342844706082642
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73554379} λ = -0.73554379}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.342844706082642))-π/2
    2×atan(1.40894994358021)-π/2
    2×0.953557715983451-π/2
    1.9071154319669-1.57079632675     		φ = 0.33631911
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73554379} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.143555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33631911 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.269666°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6274 KachelY 7298 -0.73554379 0.33631911 -42.143555 19.269666
    Oben rechts KachelX + 1 6275 KachelY 7298 -0.73516029 0.33631911 -42.121582 19.269666
    Unten links KachelX 6274 KachelY + 1 7299 -0.73554379 0.33595707 -42.143555 19.248922
    Unten rechts KachelX + 1 6275 KachelY + 1 7299 -0.73516029 0.33595707 -42.121582 19.248922
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33631911-0.33595707) × R
    0.000362039999999952 × 6371000     		dl = 2306.5568399997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33631911-0.33595707) × R
    0.000362039999999952 × 6371000     		dr = 2306.5568399997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73554379--0.73516029) × cos(0.33631911) × R
    0.000383499999999981 × 0.943975805397719 × 6371000     		do = 2306.39578984832m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73554379--0.73516029) × cos(0.33595707) × R
    0.000383499999999981 × 0.944095222039414 × 6371000     		du = 2306.68755796151m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33631911)-sin(0.33595707))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943975805397719-0.944095222039414)×R²
    abs(-0.73516029--0.73554379)×0.000119416641695125×R²
    0.000383499999999981×0.000119416641695125×6371000²
    0.000383499999999981×0.000119416641695125×40589641000000     		ar = 5320169.53280052m²