Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62739 / 26257
↖ ↑ ↗
← N 72.698022°
W  7.682190°		 ← 90.84 m → N 72.698022°
W  7.679443°		 →
↑
90.79 m
↓
↑
90.79 m
↓
N 72.697205°
W  7.682190°		 ← 90.84 m →
8 247 m²		 N 72.697205°
W  7.679443°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62739 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26257 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478664398193359 y=0.200328826904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478664398193359 × 217)
    floor (0.478664398193359 × 131072)
    floor (62739.5)     		tx = 62739
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.200328826904297 × 217)
    floor (0.200328826904297 × 131072)
    floor (26257.5)     		ty = 26257
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62739 / 26257 ti = "17/62739/26257"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62739/26257.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62739 ÷ 217
    62739 ÷ 131072     		x = 0.478660583496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26257 ÷ 217
    26257 ÷ 131072     		y = 0.200325012207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478660583496094 × 2 - 1) × π
    -0.0426788330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.13407951
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.200325012207031 × 2 - 1) × π
    0.599349975585938 × 3.1415926535     		Φ = 1.88291348017619
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13407951} λ = -0.13407951}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.88291348017619))-π/2
    2×atan(6.57262620999982)-π/2
    2×1.41980808495378-π/2
    2.83961616990756-1.57079632675     		φ = 1.26881984
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13407951} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.682190°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26881984 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.698022°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62739 KachelY 26257 -0.13407951 1.26881984 -7.682190 72.698022
    Oben rechts KachelX + 1 62740 KachelY 26257 -0.13403157 1.26881984 -7.679443 72.698022
    Unten links KachelX 62739 KachelY + 1 26258 -0.13407951 1.26880559 -7.682190 72.697205
    Unten rechts KachelX + 1 62740 KachelY + 1 26258 -0.13403157 1.26880559 -7.679443 72.697205
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26881984-1.26880559) × R
    1.42499999999934e-05 × 6371000     		dl = 90.7867499999582m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26881984-1.26880559) × R
    1.42499999999934e-05 × 6371000     		dr = 90.7867499999582m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13407951--0.13403157) × cos(1.26881984) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.297407838162734 × 6371000     		do = 90.836009052699m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13407951--0.13403157) × cos(1.26880559) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.297421443327614 × 6371000     		du = 90.8401644202503m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26881984)-sin(1.26880559))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.297407838162734-0.297421443327614)×R²
    abs(-0.13403157--0.13407951)×1.36051648801927e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.36051648801927e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.36051648801927e-05×40589641000000     		ar = 8246.89467098307m²