Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62736 / 26256
↖ ↑ ↗
← N 72.698839°
W  7.690430°		 ← 90.83 m → N 72.698839°
W  7.687683°		 →
↑
90.85 m
↓
↑
90.85 m
↓
N 72.698022°
W  7.690430°		 ← 90.84 m →
8 252 m²		 N 72.698022°
W  7.687683°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62736 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26256 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478641510009766 y=0.200321197509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478641510009766 × 217)
    floor (0.478641510009766 × 131072)
    floor (62736.5)     		tx = 62736
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.200321197509766 × 217)
    floor (0.200321197509766 × 131072)
    floor (26256.5)     		ty = 26256
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62736 / 26256 ti = "17/62736/26256"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62736/26256.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62736 ÷ 217
    62736 ÷ 131072     		x = 0.4786376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26256 ÷ 217
    26256 ÷ 131072     		y = 0.2003173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4786376953125 × 2 - 1) × π
    -0.042724609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.13422332
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2003173828125 × 2 - 1) × π
    0.599365234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.88296141707581
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13422332} λ = -0.13422332}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.88296141707581))-π/2
    2×atan(6.57294128887458)-π/2
    2×1.41981521319543-π/2
    2.83963042639086-1.57079632675     		φ = 1.26883410
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13422332} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.690430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26883410 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.698839°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62736 KachelY 26256 -0.13422332 1.26883410 -7.690430 72.698839
    Oben rechts KachelX + 1 62737 KachelY 26256 -0.13417538 1.26883410 -7.687683 72.698839
    Unten links KachelX 62736 KachelY + 1 26257 -0.13422332 1.26881984 -7.690430 72.698022
    Unten rechts KachelX + 1 62737 KachelY + 1 26257 -0.13417538 1.26881984 -7.687683 72.698022
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26883410-1.26881984) × R
    1.42600000001547e-05 × 6371000     		dl = 90.8504600009856m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26883410-1.26881984) × R
    1.42600000001547e-05 × 6371000     		dr = 90.8504600009856m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13422332--0.13417538) × cos(1.26883410) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.297394223389914 × 6371000     		do = 90.8318507505828m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13422332--0.13417538) × cos(1.26881984) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.297407838162734 × 6371000     		du = 90.8360090526464m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26883410)-sin(1.26881984))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.297394223389914-0.297407838162734)×R²
    abs(-0.13417538--0.13422332)×1.36147728204694e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.36147728204694e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.36147728204694e-05×40589641000000     		ar = 8252.30431541409m²