Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62731 / 30985
↖ ↑ ↗
← N 68.390078°
W  7.704162°		 ← 112.46 m → N 68.390078°
W  7.701416°		 →
↑
112.51 m
↓
↑
112.51 m
↓
N 68.389066°
W  7.704162°		 ← 112.47 m →
12 653 m²		 N 68.389066°
W  7.701416°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62731 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30985 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478603363037109 y=0.236400604248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478603363037109 × 217)
    floor (0.478603363037109 × 131072)
    floor (62731.5)     		tx = 62731
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.236400604248047 × 217)
    floor (0.236400604248047 × 131072)
    floor (30985.5)     		ty = 30985
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62731 / 30985 ti = "17/62731/30985"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62731/30985.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62731 ÷ 217
    62731 ÷ 131072     		x = 0.478599548339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30985 ÷ 217
    30985 ÷ 131072     		y = 0.236396789550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478599548339844 × 2 - 1) × π
    -0.0428009033203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.13446300
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.236396789550781 × 2 - 1) × π
    0.527206420898438 × 3.1415926535     		Φ = 1.65626781877256
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13446300} λ = -0.13446300}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.65626781877256))-π/2
    2×atan(5.23971872665294)-π/2
    2×1.38221418292643-π/2
    2.76442836585286-1.57079632675     		φ = 1.19363204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13446300} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.704162°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19363204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.390078°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62731 KachelY 30985 -0.13446300 1.19363204 -7.704162 68.390078
    Oben rechts KachelX + 1 62732 KachelY 30985 -0.13441507 1.19363204 -7.701416 68.390078
    Unten links KachelX 62731 KachelY + 1 30986 -0.13446300 1.19361438 -7.704162 68.389066
    Unten rechts KachelX + 1 62732 KachelY + 1 30986 -0.13441507 1.19361438 -7.701416 68.389066
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19363204-1.19361438) × R
    1.76599999999194e-05 × 6371000     		dl = 112.511859999487m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19363204-1.19361438) × R
    1.76599999999194e-05 × 6371000     		dr = 112.511859999487m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13446300--0.13441507) × cos(1.19363204) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.368285555037406 × 6371000     		do = 112.460424705903m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13446300--0.13441507) × cos(1.19361438) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.368301973706688 × 6371000     		du = 112.465438344085m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19363204)-sin(1.19361438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368285555037406-0.368301973706688)×R²
    abs(-0.13441507--0.13446300)×1.64186692827029e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.64186692827029e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.64186692827029e-05×40589641000000     		ar = 12653.4136071877m²