Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62730 / 39574
↖ ↑ ↗
← N 57.859366°
W  7.706909°		 ← 162.49 m → N 57.859366°
W  7.704162°		 →
↑
162.52 m
↓
↑
162.52 m
↓
N 57.857904°
W  7.706909°		 ← 162.49 m →
26 408 m²		 N 57.857904°
W  7.704162°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62730 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39574 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478595733642578 y=0.301929473876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478595733642578 × 217)
    floor (0.478595733642578 × 131072)
    floor (62730.5)     		tx = 62730
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301929473876953 × 217)
    floor (0.301929473876953 × 131072)
    floor (39574.5)     		ty = 39574
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62730 / 39574 ti = "17/62730/39574"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62730/39574.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62730 ÷ 217
    62730 ÷ 131072     		x = 0.478591918945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39574 ÷ 217
    39574 ÷ 131072     		y = 0.301925659179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478591918945312 × 2 - 1) × π
    -0.042816162109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.13451094
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.301925659179688 × 2 - 1) × π
    0.396148681640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.2445377879359
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13451094} λ = -0.13451094}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2445377879359))-π/2
    2×atan(3.47132993789646)-π/2
    2×1.29031638114741-π/2
    2.58063276229483-1.57079632675     		φ = 1.00983644
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13451094} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.706909°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00983644 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.859366°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62730 KachelY 39574 -0.13451094 1.00983644 -7.706909 57.859366
    Oben rechts KachelX + 1 62731 KachelY 39574 -0.13446300 1.00983644 -7.704162 57.859366
    Unten links KachelX 62730 KachelY + 1 39575 -0.13451094 1.00981093 -7.706909 57.857904
    Unten rechts KachelX + 1 62731 KachelY + 1 39575 -0.13446300 1.00981093 -7.704162 57.857904
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00983644-1.00981093) × R
    2.55099999999508e-05 × 6371000     		dl = 162.524209999687m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00983644-1.00981093) × R
    2.55099999999508e-05 × 6371000     		dr = 162.524209999687m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13451094--0.13446300) × cos(1.00983644) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.531999222076108 × 6371000     		do = 162.486256082007m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13451094--0.13446300) × cos(1.00981093) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.532020822363927 × 6371000     		du = 162.492853365899m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00983644)-sin(1.00981093))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.531999222076108-0.532020822363927)×R²
    abs(-0.13446300--0.13451094)×2.16002878189459e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.16002878189459e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.16002878189459e-05×40589641000000     		ar = 26408.4865160679m²