Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62729 / 26416
↖ ↑ ↗
← N 72.567668°
W  7.709656°		 ← 91.50 m → N 72.567668°
W  7.706909°		 →
↑
91.49 m
↓
↑
91.49 m
↓
N 72.566845°
W  7.709656°		 ← 91.50 m →
8 371 m²		 N 72.566845°
W  7.706909°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62729 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26416 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478588104248047 y=0.201541900634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478588104248047 × 217)
    floor (0.478588104248047 × 131072)
    floor (62729.5)     		tx = 62729
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.201541900634766 × 217)
    floor (0.201541900634766 × 131072)
    floor (26416.5)     		ty = 26416
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62729 / 26416 ti = "17/62729/26416"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62729/26416.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62729 ÷ 217
    62729 ÷ 131072     		x = 0.478584289550781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26416 ÷ 217
    26416 ÷ 131072     		y = 0.2015380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478584289550781 × 2 - 1) × π
    -0.0428314208984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.13455888
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2015380859375 × 2 - 1) × π
    0.596923828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.8752915131366
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13455888} λ = -0.13455888}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8752915131366))-π/2
    2×atan(6.52272030186129)-π/2
    2×1.41867053557393-π/2
    2.83734107114786-1.57079632675     		φ = 1.26654474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13455888} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.709656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26654474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.567668°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62729 KachelY 26416 -0.13455888 1.26654474 -7.709656 72.567668
    Oben rechts KachelX + 1 62730 KachelY 26416 -0.13451094 1.26654474 -7.706909 72.567668
    Unten links KachelX 62729 KachelY + 1 26417 -0.13455888 1.26653038 -7.709656 72.566845
    Unten rechts KachelX + 1 62730 KachelY + 1 26417 -0.13451094 1.26653038 -7.706909 72.566845
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26654474-1.26653038) × R
    1.4359999999991e-05 × 6371000     		dl = 91.487559999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26654474-1.26653038) × R
    1.4359999999991e-05 × 6371000     		dr = 91.487559999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13455888--0.13451094) × cos(1.26654474) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.299579219520503 × 6371000     		do = 91.499204810665m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13455888--0.13451094) × cos(1.26653038) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.299592919955332 × 6371000     		du = 91.5033892761109m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26654474)-sin(1.26653038))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.299579219520503-0.299592919955332)×R²
    abs(-0.13451094--0.13455888)×1.37004348289005e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.37004348289005e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.37004348289005e-05×40589641000000     		ar = 8371.23040339855m²