Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62728 / 31000
↖ ↑ ↗
← N 68.374900°
W  7.712402°		 ← 112.54 m → N 68.374900°
W  7.709656°		 →
↑
112.51 m
↓
↑
112.51 m
↓
N 68.373888°
W  7.712402°		 ← 112.54 m →
12 662 m²		 N 68.373888°
W  7.709656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62728 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31000 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478580474853516 y=0.236515045166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478580474853516 × 217)
    floor (0.478580474853516 × 131072)
    floor (62728.5)     		tx = 62728
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.236515045166016 × 217)
    floor (0.236515045166016 × 131072)
    floor (31000.5)     		ty = 31000
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62728 / 31000 ti = "17/62728/31000"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62728/31000.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62728 ÷ 217
    62728 ÷ 131072     		x = 0.47857666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31000 ÷ 217
    31000 ÷ 131072     		y = 0.23651123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47857666015625 × 2 - 1) × π
    -0.0428466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13460681
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23651123046875 × 2 - 1) × π
    0.5269775390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.65554876527826
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13460681} λ = -0.13460681}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.65554876527826))-π/2
    2×atan(5.23595244283543)-π/2
    2×1.38208173015176-π/2
    2.76416346030352-1.57079632675     		φ = 1.19336713
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13460681} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.712402°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19336713 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.374900°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62728 KachelY 31000 -0.13460681 1.19336713 -7.712402 68.374900
    Oben rechts KachelX + 1 62729 KachelY 31000 -0.13455888 1.19336713 -7.709656 68.374900
    Unten links KachelX 62728 KachelY + 1 31001 -0.13460681 1.19334947 -7.712402 68.373888
    Unten rechts KachelX + 1 62729 KachelY + 1 31001 -0.13455888 1.19334947 -7.709656 68.373888
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19336713-1.19334947) × R
    1.76599999999194e-05 × 6371000     		dl = 112.511859999487m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19336713-1.19334947) × R
    1.76599999999194e-05 × 6371000     		dr = 112.511859999487m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13460681--0.13455888) × cos(1.19336713) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.368531832309707 × 6371000     		do = 112.535628433715m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13460681--0.13455888) × cos(1.19334947) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.368548249255421 × 6371000     		du = 112.540641545585m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19336713)-sin(1.19334947))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368531832309707-0.368548249255421)×R²
    abs(-0.13455888--0.13460681)×1.64169457139707e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.64169457139707e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.64169457139707e-05×40589641000000     		ar = 12661.874888878m²