Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62716 / 26276
↖ ↑ ↗
← N 72.682495°
W  7.745362°		 ← 90.92 m → N 72.682495°
W  7.742615°		 →
↑
90.91 m
↓
↑
90.91 m
↓
N 72.681678°
W  7.745362°		 ← 90.92 m →
8 266 m²		 N 72.681678°
W  7.742615°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62716 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26276 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478488922119141 y=0.200473785400391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478488922119141 × 217)
    floor (0.478488922119141 × 131072)
    floor (62716.5)     		tx = 62716
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.200473785400391 × 217)
    floor (0.200473785400391 × 131072)
    floor (26276.5)     		ty = 26276
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62716 / 26276 ti = "17/62716/26276"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62716/26276.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62716 ÷ 217
    62716 ÷ 131072     		x = 0.478485107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26276 ÷ 217
    26276 ÷ 131072     		y = 0.200469970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478485107421875 × 2 - 1) × π
    -0.04302978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.13518206
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.200469970703125 × 2 - 1) × π
    0.59906005859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.8820026790834
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13518206} λ = -0.13518206}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8820026790834))-π/2
    2×atan(6.56664258022723)-π/2
    2×1.41967258635937-π/2
    2.83934517271873-1.57079632675     		φ = 1.26854885
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13518206} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.745362°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26854885 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.682495°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62716 KachelY 26276 -0.13518206 1.26854885 -7.745362 72.682495
    Oben rechts KachelX + 1 62717 KachelY 26276 -0.13513412 1.26854885 -7.742615 72.682495
    Unten links KachelX 62716 KachelY + 1 26277 -0.13518206 1.26853458 -7.745362 72.681678
    Unten rechts KachelX + 1 62717 KachelY + 1 26277 -0.13513412 1.26853458 -7.742615 72.681678
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26854885-1.26853458) × R
    1.42699999998719e-05 × 6371000     		dl = 90.9141699991838m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26854885-1.26853458) × R
    1.42699999998719e-05 × 6371000     		dr = 90.9141699991838m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13518206--0.13513412) × cos(1.26854885) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.297666555085997 × 6371000     		do = 90.9150278603845m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13518206--0.13513412) × cos(1.26853458) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.297680178195192 × 6371000     		du = 90.9191887085914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26854885)-sin(1.26853458))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.297666555085997-0.297680178195192)×R²
    abs(-0.13513412--0.13518206)×1.362310919506e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.362310919506e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.362310919506e-05×40589641000000     		ar = 8265.65343863054m²