Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62713 / 39449
↖ ↑ ↗
← N 58.041551°
W  7.753601°		 ← 161.66 m → N 58.041551°
W  7.750854°		 →
↑
161.70 m
↓
↑
161.70 m
↓
N 58.040096°
W  7.753601°		 ← 161.67 m →
26 141 m²		 N 58.040096°
W  7.750854°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62713 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39449 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478466033935547 y=0.300975799560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478466033935547 × 217)
    floor (0.478466033935547 × 131072)
    floor (62713.5)     		tx = 62713
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300975799560547 × 217)
    floor (0.300975799560547 × 131072)
    floor (39449.5)     		ty = 39449
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62713 / 39449 ti = "17/62713/39449"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62713/39449.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62713 ÷ 217
    62713 ÷ 131072     		x = 0.478462219238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39449 ÷ 217
    39449 ÷ 131072     		y = 0.300971984863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478462219238281 × 2 - 1) × π
    -0.0430755615234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.13532587
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300971984863281 × 2 - 1) × π
    0.398056030273438 × 3.1415926535     		Φ = 1.2505299003884
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13532587} λ = -0.13532587}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2505299003884))-π/2
    2×atan(3.49219298167165)-π/2
    2×1.29190624133191-π/2
    2.58381248266383-1.57079632675     		φ = 1.01301616
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13532587} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.753601°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01301616 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.041551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62713 KachelY 39449 -0.13532587 1.01301616 -7.753601 58.041551
    Oben rechts KachelX + 1 62714 KachelY 39449 -0.13527793 1.01301616 -7.750854 58.041551
    Unten links KachelX 62713 KachelY + 1 39450 -0.13532587 1.01299078 -7.753601 58.040096
    Unten rechts KachelX + 1 62714 KachelY + 1 39450 -0.13527793 1.01299078 -7.750854 58.040096
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01301616-1.01299078) × R
    2.53800000000748e-05 × 6371000     		dl = 161.695980000476m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01301616-1.01299078) × R
    2.53800000000748e-05 × 6371000     		dr = 161.695980000476m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13532587--0.13527793) × cos(1.01301616) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.529304125685081 × 6371000     		do = 161.663104272407m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13532587--0.13527793) × cos(1.01299078) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.529325658723011 × 6371000     		du = 161.669681016451m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01301616)-sin(1.01299078))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.529304125685081-0.529325658723011)×R²
    abs(-0.13527793--0.13532587)×2.1533037930066e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.1533037930066e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.1533037930066e-05×40589641000000     		ar = 26140.8057930944m²