Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62712 / 74985
↖ ↑ ↗
← S 25.107985°
W  7.756347°		 ← 276.51 m → S 25.107985°
W  7.753601°		 →
↑
276.50 m
↓
↑
276.50 m
↓
S 25.110471°
W  7.756347°		 ← 276.50 m →
76 454 m²		 S 25.110471°
W  7.753601°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62712 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 74985 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478458404541016 y=0.572093963623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478458404541016 × 217)
    floor (0.478458404541016 × 131072)
    floor (62712.5)     		tx = 62712
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.572093963623047 × 217)
    floor (0.572093963623047 × 131072)
    floor (74985.5)     		ty = 74985
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62712 / 74985 ti = "17/62712/74985"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62712/74985.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62712 ÷ 217
    62712 ÷ 131072     		x = 0.47845458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 74985 ÷ 217
    74985 ÷ 131072     		y = 0.572090148925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47845458984375 × 2 - 1) × π
    -0.0430908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.13537380
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.572090148925781 × 2 - 1) × π
    -0.144180297851562 × 3.1415926535     		Φ = -0.452955764509911
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13537380} λ = -0.13537380}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.452955764509911))-π/2
    2×atan(0.635746255551603)-π/2
    2×0.566289664764413-π/2
    1.13257932952883-1.57079632675     		φ = -0.43821700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13537380} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.756347°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.43821700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.107985°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62712 KachelY 74985 -0.13537380 -0.43821700 -7.756347 -25.107985
    Oben rechts KachelX + 1 62713 KachelY 74985 -0.13532587 -0.43821700 -7.753601 -25.107985
    Unten links KachelX 62712 KachelY + 1 74986 -0.13537380 -0.43826040 -7.756347 -25.110471
    Unten rechts KachelX + 1 62713 KachelY + 1 74986 -0.13532587 -0.43826040 -7.753601 -25.110471
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.43821700--0.43826040) × R
    4.33999999999712e-05 × 6371000     		dl = 276.501399999817m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.43821700--0.43826040) × R
    4.33999999999712e-05 × 6371000     		dr = 276.501399999817m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13537380--0.13532587) × cos(-0.43821700) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.905509674741134 × 6371000     		do = 276.508272463601m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13537380--0.13532587) × cos(-0.43826040) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.905491258156586 × 6371000     		du = 276.502648737958m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.43821700)-sin(-0.43826040))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.905509674741134-0.905491258156586)×R²
    abs(-0.13532587--0.13537380)×1.84165845479312e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.84165845479312e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.84165845479312e-05×40589641000000     		ar = 76454.1469756495m²