Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62711 / 39447
↖ ↑ ↗
← N 58.044458°
W  7.759094°		 ← 161.65 m → N 58.044458°
W  7.756347°		 →
↑
161.63 m
↓
↑
161.63 m
↓
N 58.043004°
W  7.759094°		 ← 161.66 m →
26 128 m²		 N 58.043004°
W  7.756347°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62711 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39447 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478450775146484 y=0.300960540771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478450775146484 × 217)
    floor (0.478450775146484 × 131072)
    floor (62711.5)     		tx = 62711
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300960540771484 × 217)
    floor (0.300960540771484 × 131072)
    floor (39447.5)     		ty = 39447
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62711 / 39447 ti = "17/62711/39447"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62711/39447.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62711 ÷ 217
    62711 ÷ 131072     		x = 0.478446960449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39447 ÷ 217
    39447 ÷ 131072     		y = 0.300956726074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478446960449219 × 2 - 1) × π
    -0.0431060791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.13542174
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300956726074219 × 2 - 1) × π
    0.398086547851562 × 3.1415926535     		Φ = 1.25062577418764
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13542174} λ = -0.13542174}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25062577418764))-π/2
    2×atan(3.49252780753074)-π/2
    2×1.29193161349888-π/2
    2.58386322699776-1.57079632675     		φ = 1.01306690
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13542174} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.759094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01306690 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.044458°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62711 KachelY 39447 -0.13542174 1.01306690 -7.759094 58.044458
    Oben rechts KachelX + 1 62712 KachelY 39447 -0.13537380 1.01306690 -7.756347 58.044458
    Unten links KachelX 62711 KachelY + 1 39448 -0.13542174 1.01304153 -7.759094 58.043004
    Unten rechts KachelX + 1 62712 KachelY + 1 39448 -0.13537380 1.01304153 -7.756347 58.043004
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01306690-1.01304153) × R
    2.53700000001356e-05 × 6371000     		dl = 161.632270000864m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01306690-1.01304153) × R
    2.53700000001356e-05 × 6371000     		dr = 161.632270000864m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13542174--0.13537380) × cos(1.01306690) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.529261075555571 × 6371000     		do = 161.649955654837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13542174--0.13537380) × cos(1.01304153) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.529282600790659 × 6371000     		du = 161.656530015693m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01306690)-sin(1.01304153))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.529261075555571-0.529282600790659)×R²
    abs(-0.13537380--0.13542174)×2.15252350882489e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.15252350882489e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.15252350882489e-05×40589641000000     		ar = 26128.3805938253m²