Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62710 / 26294
↖ ↑ ↗
← N 72.667772°
W  7.761841°		 ← 90.99 m → N 72.667772°
W  7.759094°		 →
↑
90.98 m
↓
↑
90.98 m
↓
N 72.666954°
W  7.761841°		 ← 90.99 m →
8 278 m²		 N 72.666954°
W  7.759094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62710 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26294 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478443145751953 y=0.200611114501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478443145751953 × 217)
    floor (0.478443145751953 × 131072)
    floor (62710.5)     		tx = 62710
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.200611114501953 × 217)
    floor (0.200611114501953 × 131072)
    floor (26294.5)     		ty = 26294
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62710 / 26294 ti = "17/62710/26294"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62710/26294.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62710 ÷ 217
    62710 ÷ 131072     		x = 0.478439331054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26294 ÷ 217
    26294 ÷ 131072     		y = 0.200607299804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478439331054688 × 2 - 1) × π
    -0.043121337890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.13546968
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.200607299804688 × 2 - 1) × π
    0.598785400390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.88113981489024
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13546968} λ = -0.13546968}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.88113981489024))-π/2
    2×atan(6.56097890331887)-π/2
    2×1.41954411054441-π/2
    2.83908822108883-1.57079632675     		φ = 1.26829189
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13546968} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.761841°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26829189 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.667772°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62710 KachelY 26294 -0.13546968 1.26829189 -7.761841 72.667772
    Oben rechts KachelX + 1 62711 KachelY 26294 -0.13542174 1.26829189 -7.759094 72.667772
    Unten links KachelX 62710 KachelY + 1 26295 -0.13546968 1.26827761 -7.761841 72.666954
    Unten rechts KachelX + 1 62711 KachelY + 1 26295 -0.13542174 1.26827761 -7.759094 72.666954
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26829189-1.26827761) × R
    1.42800000000332e-05 × 6371000     		dl = 90.9778800002112m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26829189-1.26827761) × R
    1.42800000000332e-05 × 6371000     		dr = 90.9778800002112m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13546968--0.13542174) × cos(1.26829189) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.297911857234113 × 6371000     		do = 90.9899494504963m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13546968--0.13542174) × cos(1.26827761) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.297925488797235 × 6371000     		du = 90.9941128807503m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26829189)-sin(1.26827761))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.297911857234113-0.297925488797235)×R²
    abs(-0.13542174--0.13546968)×1.36315631223405e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.36315631223405e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.36315631223405e-05×40589641000000     		ar = 8278.26209261892m²