Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6271 / 6170
↖ ↑ ↗
← S 66.964476°
E 95.581055°		 ← 1 912.09 m → S 66.964476°
E 95.625000°		 →
↑
1 911.43 m
↓
↑
1 911.43 m
↓
S 66.981666°
E 95.581055°		 ← 1 910.74 m →
3 653 538 m²		 S 66.981666°
E 95.625000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6271 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6170 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.76556396484375 y=0.75323486328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.76556396484375 × 213)
    floor (0.76556396484375 × 8192)
    floor (6271.5)     		tx = 6271
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.75323486328125 × 213)
    floor (0.75323486328125 × 8192)
    floor (6170.5)     		ty = 6170
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6271 / 6170 ti = "13/6271/6170"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6271/6170.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6271 ÷ 213
    6271 ÷ 8192     		x = 0.7655029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6170 ÷ 213
    6170 ÷ 8192     		y = 0.753173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7655029296875 × 2 - 1) × π
    0.531005859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.66820411
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753173828125 × 2 - 1) × π
    -0.50634765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.59073807699194
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66820411} λ = 1.66820411}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59073807699194))-π/2
    2×atan(0.20377515446348)-π/2
    2×0.201022866751497-π/2
    0.402045733502994-1.57079632675     		φ = -1.16875059
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66820411} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.581055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16875059 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.964476°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6271 KachelY 6170 1.66820411 -1.16875059 95.581055 -66.964476
    Oben rechts KachelX + 1 6272 KachelY 6170 1.66897110 -1.16875059 95.625000 -66.964476
    Unten links KachelX 6271 KachelY + 1 6171 1.66820411 -1.16905061 95.581055 -66.981666
    Unten rechts KachelX + 1 6272 KachelY + 1 6171 1.66897110 -1.16905061 95.625000 -66.981666
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16875059--1.16905061) × R
    0.000300020000000067 × 6371000     		dl = 1911.42742000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16875059--1.16905061) × R
    0.000300020000000067 × 6371000     		dr = 1911.42742000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66820411-1.66897110) × cos(-1.16875059) × R
    0.000766990000000023 × 0.391301774494954 × 6371000     		do = 1912.09349543474m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66820411-1.66897110) × cos(-1.16905061) × R
    0.000766990000000023 × 0.391025659756983 × 6371000     		du = 1910.74426262038m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16875059)-sin(-1.16905061))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.391301774494954-0.391025659756983)×R²
    abs(1.66897110-1.66820411)×0.000276114737970956×R²
    0.000766990000000023×0.000276114737970956×6371000²
    0.000766990000000023×0.000276114737970956×40589641000000     		ar = 3653538.48388608m²