Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62709 / 38799
↖ ↑ ↗
← N 58.974083°
W  7.764588°		 ← 157.42 m → N 58.974083°
W  7.761841°		 →
↑
157.43 m
↓
↑
157.43 m
↓
N 58.972667°
W  7.764588°		 ← 157.43 m →
24 783 m²		 N 58.972667°
W  7.761841°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62709 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38799 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478435516357422 y=0.296016693115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478435516357422 × 217)
    floor (0.478435516357422 × 131072)
    floor (62709.5)     		tx = 62709
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296016693115234 × 217)
    floor (0.296016693115234 × 131072)
    floor (38799.5)     		ty = 38799
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62709 / 38799 ti = "17/62709/38799"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62709/38799.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62709 ÷ 217
    62709 ÷ 131072     		x = 0.478431701660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38799 ÷ 217
    38799 ÷ 131072     		y = 0.296012878417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478431701660156 × 2 - 1) × π
    -0.0431365966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13551762
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.296012878417969 × 2 - 1) × π
    0.407974243164062 × 3.1415926535     		Φ = 1.28168888514144
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13551762} λ = -0.13551762}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28168888514144))-π/2
    2×atan(3.60271916925692)-π/2
    2×1.30004412286243-π/2
    2.60008824572486-1.57079632675     		φ = 1.02929192
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13551762} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.764588°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02929192 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.974083°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62709 KachelY 38799 -0.13551762 1.02929192 -7.764588 58.974083
    Oben rechts KachelX + 1 62710 KachelY 38799 -0.13546968 1.02929192 -7.761841 58.974083
    Unten links KachelX 62709 KachelY + 1 38800 -0.13551762 1.02926721 -7.764588 58.972667
    Unten rechts KachelX + 1 62710 KachelY + 1 38800 -0.13546968 1.02926721 -7.761841 58.972667
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02929192-1.02926721) × R
    2.47099999999278e-05 × 6371000     		dl = 157.42740999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02929192-1.02926721) × R
    2.47099999999278e-05 × 6371000     		dr = 157.42740999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13551762--0.13546968) × cos(1.02929192) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.515425752128262 × 6371000     		do = 157.424291758819m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13551762--0.13546968) × cos(1.02926721) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.515446926816009 × 6371000     		du = 157.430759053493m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02929192)-sin(1.02926721))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.515425752128262-0.515446926816009)×R²
    abs(-0.13546968--0.13551762)×2.11746877468721e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.11746877468721e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.11746877468721e-05×40589641000000     		ar = 24783.4075886327m²