Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62706 / 34819
↖ ↑ ↗
← N 64.164516°
W  7.772827°		 ← 133.10 m → N 64.164516°
W  7.770081°		 →
↑
133.09 m
↓
↑
133.09 m
↓
N 64.163319°
W  7.772827°		 ← 133.11 m →
17 715 m²		 N 64.163319°
W  7.770081°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62706 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34819 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478412628173828 y=0.265651702880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478412628173828 × 217)
    floor (0.478412628173828 × 131072)
    floor (62706.5)     		tx = 62706
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.265651702880859 × 217)
    floor (0.265651702880859 × 131072)
    floor (34819.5)     		ty = 34819
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62706 / 34819 ti = "17/62706/34819"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62706/34819.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62706 ÷ 217
    62706 ÷ 131072     		x = 0.478408813476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34819 ÷ 217
    34819 ÷ 131072     		y = 0.265647888183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478408813476562 × 2 - 1) × π
    -0.043182373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13566143
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.265647888183594 × 2 - 1) × π
    0.468704223632812 × 3.1415926535     		Φ = 1.47247774562926
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13566143} λ = -0.13566143}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.47247774562926))-π/2
    2×atan(4.36002480092042)-π/2
    2×1.34533919995622-π/2
    2.69067839991245-1.57079632675     		φ = 1.11988207
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13566143} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.772827°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11988207 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.164516°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62706 KachelY 34819 -0.13566143 1.11988207 -7.772827 64.164516
    Oben rechts KachelX + 1 62707 KachelY 34819 -0.13561349 1.11988207 -7.770081 64.164516
    Unten links KachelX 62706 KachelY + 1 34820 -0.13566143 1.11986118 -7.772827 64.163319
    Unten rechts KachelX + 1 62707 KachelY + 1 34820 -0.13561349 1.11986118 -7.770081 64.163319
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11988207-1.11986118) × R
    2.08900000000511e-05 × 6371000     		dl = 133.090190000326m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11988207-1.11986118) × R
    2.08900000000511e-05 × 6371000     		dr = 133.090190000326m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13566143--0.13561349) × cos(1.11988207) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.435788592091988 × 6371000     		do = 133.101053223243m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13566143--0.13561349) × cos(1.11986118) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.435807394021677 × 6371000     		du = 133.106795816532m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11988207)-sin(1.11986118))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.435788592091988-0.435807394021677)×R²
    abs(-0.13561349--0.13566143)×1.88019296887831e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.88019296887831e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.88019296887831e-05×40589641000000     		ar = 17714.8266048643m²