Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62703 / 75004
↖ ↑ ↗
← S 25.155230°
W  7.781067°		 ← 276.46 m → S 25.155230°
W  7.778320°		 →
↑
276.44 m
↓
↑
276.44 m
↓
S 25.157716°
W  7.781067°		 ← 276.45 m →
76 423 m²		 S 25.157716°
W  7.778320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62703 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75004 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478389739990234 y=0.572238922119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478389739990234 × 217)
    floor (0.478389739990234 × 131072)
    floor (62703.5)     		tx = 62703
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.572238922119141 × 217)
    floor (0.572238922119141 × 131072)
    floor (75004.5)     		ty = 75004
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62703 / 75004 ti = "17/62703/75004"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62703/75004.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62703 ÷ 217
    62703 ÷ 131072     		x = 0.478385925292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75004 ÷ 217
    75004 ÷ 131072     		y = 0.572235107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478385925292969 × 2 - 1) × π
    -0.0432281494140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.13580524
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.572235107421875 × 2 - 1) × π
    -0.14447021484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.453866565602692
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13580524} λ = -0.13580524}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.453866565602692))-π/2
    2×atan(0.635167480781672)-π/2
    2×0.565877374885232-π/2
    1.13175474977046-1.57079632675     		φ = -0.43904158
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13580524} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.781067°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.43904158 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.155230°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62703 KachelY 75004 -0.13580524 -0.43904158 -7.781067 -25.155230
    Oben rechts KachelX + 1 62704 KachelY 75004 -0.13575730 -0.43904158 -7.778320 -25.155230
    Unten links KachelX 62703 KachelY + 1 75005 -0.13580524 -0.43908497 -7.781067 -25.157716
    Unten rechts KachelX + 1 62704 KachelY + 1 75005 -0.13575730 -0.43908497 -7.778320 -25.157716
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.43904158--0.43908497) × R
    4.3390000000032e-05 × 6371000     		dl = 276.437690000204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.43904158--0.43908497) × R
    4.3390000000032e-05 × 6371000     		dr = 276.437690000204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13580524--0.13575730) × cos(-0.43904158) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.905159476521238 × 6371000     		do = 276.45900293449m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13580524--0.13575730) × cos(-0.43908497) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.90514103178913 × 6371000     		du = 276.453369438537m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.43904158)-sin(-0.43908497))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.905159476521238-0.90514103178913)×R²
    abs(-0.13575730--0.13580524)×1.84447321078807e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.84447321078807e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.84447321078807e-05×40589641000000     		ar = 76422.9095076886m²