Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62703 / 34821
↖ ↑ ↗
← N 64.162122°
W  7.781067°		 ← 133.11 m → N 64.162122°
W  7.778320°		 →
↑
133.09 m
↓
↑
133.09 m
↓
N 64.160925°
W  7.781067°		 ← 133.12 m →
17 716 m²		 N 64.160925°
W  7.778320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62703 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34821 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478389739990234 y=0.265666961669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478389739990234 × 217)
    floor (0.478389739990234 × 131072)
    floor (62703.5)     		tx = 62703
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.265666961669922 × 217)
    floor (0.265666961669922 × 131072)
    floor (34821.5)     		ty = 34821
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62703 / 34821 ti = "17/62703/34821"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62703/34821.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62703 ÷ 217
    62703 ÷ 131072     		x = 0.478385925292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34821 ÷ 217
    34821 ÷ 131072     		y = 0.265663146972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478385925292969 × 2 - 1) × π
    -0.0432281494140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.13580524
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.265663146972656 × 2 - 1) × π
    0.468673706054688 × 3.1415926535     		Φ = 1.47238187183002
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13580524} λ = -0.13580524}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.47238187183002))-π/2
    2×atan(4.35960680881554)-π/2
    2×1.34531830870102-π/2
    2.69063661740203-1.57079632675     		φ = 1.11984029
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13580524} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.781067°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11984029 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.162122°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62703 KachelY 34821 -0.13580524 1.11984029 -7.781067 64.162122
    Oben rechts KachelX + 1 62704 KachelY 34821 -0.13575730 1.11984029 -7.778320 64.162122
    Unten links KachelX 62703 KachelY + 1 34822 -0.13580524 1.11981940 -7.781067 64.160925
    Unten rechts KachelX + 1 62704 KachelY + 1 34822 -0.13575730 1.11981940 -7.778320 64.160925
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11984029-1.11981940) × R
    2.08900000000511e-05 × 6371000     		dl = 133.090190000326m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11984029-1.11981940) × R
    2.08900000000511e-05 × 6371000     		dr = 133.090190000326m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13580524--0.13575730) × cos(1.11984029) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.435826195761183 × 6371000     		do = 133.112538351734m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13580524--0.13575730) × cos(1.11981940) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.435844997310498 × 6371000     		du = 133.118280828847m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11984029)-sin(1.11981940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.435826195761183-0.435844997310498)×R²
    abs(-0.13575730--0.13580524)×1.88015493147731e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.88015493147731e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.88015493147731e-05×40589641000000     		ar = 17716.355154987m²