Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62701 / 75006
↖ ↑ ↗
← S 25.160202°
W  7.786560°		 ← 276.45 m → S 25.160202°
W  7.783813°		 →
↑
276.37 m
↓
↑
276.37 m
↓
S 25.162687°
W  7.786560°		 ← 276.44 m →
76 402 m²		 S 25.162687°
W  7.783813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62701 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75006 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478374481201172 y=0.572254180908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478374481201172 × 217)
    floor (0.478374481201172 × 131072)
    floor (62701.5)     		tx = 62701
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.572254180908203 × 217)
    floor (0.572254180908203 × 131072)
    floor (75006.5)     		ty = 75006
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62701 / 75006 ti = "17/62701/75006"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62701/75006.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62701 ÷ 217
    62701 ÷ 131072     		x = 0.478370666503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75006 ÷ 217
    75006 ÷ 131072     		y = 0.572250366210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478370666503906 × 2 - 1) × π
    -0.0432586669921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13590111
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.572250366210938 × 2 - 1) × π
    -0.144500732421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.453962439401932
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13590111} λ = -0.13590111}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.453962439401932))-π/2
    2×atan(0.635106587781204)-π/2
    2×0.565833985230402-π/2
    1.1316679704608-1.57079632675     		φ = -0.43912836
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13590111} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.786560°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.43912836 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.160202°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62701 KachelY 75006 -0.13590111 -0.43912836 -7.786560 -25.160202
    Oben rechts KachelX + 1 62702 KachelY 75006 -0.13585317 -0.43912836 -7.783813 -25.160202
    Unten links KachelX 62701 KachelY + 1 75007 -0.13590111 -0.43917174 -7.786560 -25.162687
    Unten rechts KachelX + 1 62702 KachelY + 1 75007 -0.13585317 -0.43917174 -7.783813 -25.162687
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.43912836--0.43917174) × R
    4.33799999999818e-05 × 6371000     		dl = 276.373979999884m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.43912836--0.43917174) × R
    4.33799999999818e-05 × 6371000     		dr = 276.373979999884m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13590111--0.13585317) × cos(-0.43912836) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.90512258535292 × 6371000     		do = 276.447735422108m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13590111--0.13585317) × cos(-0.43917174) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.905104141464543 × 6371000     		du = 276.442102183851m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.43912836)-sin(-0.43917174))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.90512258535292-0.905104141464543)×R²
    abs(-0.13585317--0.13590111)×1.84438883772398e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.84438883772398e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.84438883772398e-05×40589641000000     		ar = 76402.1824722821m²