Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62700 / 39629
↖ ↑ ↗
← N 57.778911°
W  7.789307°		 ← 162.85 m → N 57.778911°
W  7.786560°		 →
↑
162.84 m
↓
↑
162.84 m
↓
N 57.777447°
W  7.789307°		 ← 162.86 m →
26 519 m²		 N 57.777447°
W  7.786560°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62700 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39629 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478366851806641 y=0.302349090576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478366851806641 × 217)
    floor (0.478366851806641 × 131072)
    floor (62700.5)     		tx = 62700
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302349090576172 × 217)
    floor (0.302349090576172 × 131072)
    floor (39629.5)     		ty = 39629
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62700 / 39629 ti = "17/62700/39629"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62700/39629.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62700 ÷ 217
    62700 ÷ 131072     		x = 0.478363037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39629 ÷ 217
    39629 ÷ 131072     		y = 0.302345275878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478363037109375 × 2 - 1) × π
    -0.04327392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.13594905
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302345275878906 × 2 - 1) × π
    0.395309448242188 × 3.1415926535     		Φ = 1.24190125845679
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13594905} λ = -0.13594905}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24190125845679))-π/2
    2×atan(3.4621897286937)-π/2
    2×1.28961428214172-π/2
    2.57922856428343-1.57079632675     		φ = 1.00843224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13594905} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.789307°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00843224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.778911°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62700 KachelY 39629 -0.13594905 1.00843224 -7.789307 57.778911
    Oben rechts KachelX + 1 62701 KachelY 39629 -0.13590111 1.00843224 -7.786560 57.778911
    Unten links KachelX 62700 KachelY + 1 39630 -0.13594905 1.00840668 -7.789307 57.777447
    Unten rechts KachelX + 1 62701 KachelY + 1 39630 -0.13590111 1.00840668 -7.786560 57.777447
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00843224-1.00840668) × R
    2.55600000000911e-05 × 6371000     		dl = 162.84276000058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00843224-1.00840668) × R
    2.55600000000911e-05 × 6371000     		dr = 162.84276000058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13594905--0.13590111) × cos(1.00843224) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.533187696300718 × 6371000     		do = 162.84924670153m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13594905--0.13590111) × cos(1.00840668) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.533209319809209 × 6371000     		du = 162.855851077612m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00843224)-sin(1.00840668))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.533187696300718-0.533209319809209)×R²
    abs(-0.13590111--0.13594905)×2.16235084912197e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.16235084912197e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.16235084912197e-05×40589641000000     		ar = 26519.3585357258m²