Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6270 / 6237
↖ ↑ ↗
← S 68.089709°
E 95.537110°		 ← 1 823.42 m → S 68.089709°
E 95.581055°		 →
↑
1 822.74 m
↓
↑
1 822.74 m
↓
S 68.106101°
E 95.537110°		 ← 1 822.12 m →
3 322 438 m²		 S 68.106101°
E 95.581055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6270 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6237 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.76544189453125 y=0.76141357421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.76544189453125 × 213)
    floor (0.76544189453125 × 8192)
    floor (6270.5)     		tx = 6270
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.76141357421875 × 213)
    floor (0.76141357421875 × 8192)
    floor (6237.5)     		ty = 6237
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6270 / 6237 ti = "13/6270/6237"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6270/6237.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6270 ÷ 213
    6270 ÷ 8192     		x = 0.765380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6237 ÷ 213
    6237 ÷ 8192     		y = 0.7613525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765380859375 × 2 - 1) × π
    0.53076171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.66743712
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7613525390625 × 2 - 1) × π
    -0.522705078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.64212643338464
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66743712} λ = 1.66743712}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64212643338464))-π/2
    2×atan(0.193567994903933)-π/2
    2×0.191203359329963-π/2
    0.382406718659925-1.57079632675     		φ = -1.18838961
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66743712} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.537110°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18838961 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.089709°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6270 KachelY 6237 1.66743712 -1.18838961 95.537110 -68.089709
    Oben rechts KachelX + 1 6271 KachelY 6237 1.66820411 -1.18838961 95.581055 -68.089709
    Unten links KachelX 6270 KachelY + 1 6238 1.66743712 -1.18867571 95.537110 -68.106101
    Unten rechts KachelX + 1 6271 KachelY + 1 6238 1.66820411 -1.18867571 95.581055 -68.106101
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18838961--1.18867571) × R
    0.000286100000000067 × 6371000     		dl = 1822.74310000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18838961--1.18867571) × R
    0.000286100000000067 × 6371000     		dr = 1822.74310000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66743712-1.66820411) × cos(-1.18838961) × R
    0.000766990000000023 × 0.373154425792441 × 6371000     		do = 1823.41659776862m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66743712-1.66820411) × cos(-1.18867571) × R
    0.000766990000000023 × 0.372888975742732 × 6371000     		du = 1822.11947788189m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18838961)-sin(-1.18867571))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373154425792441-0.372888975742732)×R²
    abs(1.66820411-1.66743712)×0.000265450049709348×R²
    0.000766990000000023×0.000265450049709348×6371000²
    0.000766990000000023×0.000265450049709348×40589641000000     		ar = 3322437.8865092m²