Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6270 / 6081
↖ ↑ ↗
← S 65.385147°
E 95.537110°		 ← 2 035.30 m → S 65.385147°
E 95.581055°		 →
↑
2 034.58 m
↓
↑
2 034.58 m
↓
S 65.403445°
E 95.537110°		 ← 2 033.89 m →
4 139 545 m²		 S 65.403445°
E 95.581055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6270 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6081 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.76544189453125 y=0.74237060546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.76544189453125 × 213)
    floor (0.76544189453125 × 8192)
    floor (6270.5)     		tx = 6270
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.74237060546875 × 213)
    floor (0.74237060546875 × 8192)
    floor (6081.5)     		ty = 6081
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6270 / 6081 ti = "13/6270/6081"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6270/6081.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6270 ÷ 213
    6270 ÷ 8192     		x = 0.765380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6081 ÷ 213
    6081 ÷ 8192     		y = 0.7423095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765380859375 × 2 - 1) × π
    0.53076171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.66743712
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7423095703125 × 2 - 1) × π
    -0.484619140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.52247593193298
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66743712} λ = 1.66743712}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52247593193298))-π/2
    2×atan(0.218171041032322)-π/2
    2×0.214805112944921-π/2
    0.429610225889843-1.57079632675     		φ = -1.14118610
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66743712} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.537110°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14118610 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.385147°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6270 KachelY 6081 1.66743712 -1.14118610 95.537110 -65.385147
    Oben rechts KachelX + 1 6271 KachelY 6081 1.66820411 -1.14118610 95.581055 -65.385147
    Unten links KachelX 6270 KachelY + 1 6082 1.66743712 -1.14150545 95.537110 -65.403445
    Unten rechts KachelX + 1 6271 KachelY + 1 6082 1.66820411 -1.14150545 95.581055 -65.403445
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14118610--1.14150545) × R
    0.000319349999999829 × 6371000     		dl = 2034.57884999891m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14118610--1.14150545) × R
    0.000319349999999829 × 6371000     		dr = 2034.57884999891m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66743712-1.66820411) × cos(-1.14118610) × R
    0.000766990000000023 × 0.416516480278439 × 6371000     		do = 2035.30498605507m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66743712-1.66820411) × cos(-1.14150545) × R
    0.000766990000000023 × 0.416226128964564 × 6371000     		du = 2033.88618630808m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14118610)-sin(-1.14150545))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416516480278439-0.416226128964564)×R²
    abs(1.66820411-1.66743712)×0.000290351313875226×R²
    0.000766990000000023×0.000290351313875226×6371000²
    0.000766990000000023×0.000290351313875226×40589641000000     		ar = 4139545.18312587m²