Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62698 / 34039
↖ ↑ ↗
← N 65.082546°
W  7.794800°		 ← 128.68 m → N 65.082546°
W  7.792053°		 →
↑
128.63 m
↓
↑
128.63 m
↓
N 65.081390°
W  7.794800°		 ← 128.69 m →
16 552 m²		 N 65.081390°
W  7.792053°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62698 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34039 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478351593017578 y=0.259700775146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478351593017578 × 217)
    floor (0.478351593017578 × 131072)
    floor (62698.5)     		tx = 62698
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259700775146484 × 217)
    floor (0.259700775146484 × 131072)
    floor (34039.5)     		ty = 34039
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62698 / 34039 ti = "17/62698/34039"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62698/34039.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62698 ÷ 217
    62698 ÷ 131072     		x = 0.478347778320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34039 ÷ 217
    34039 ÷ 131072     		y = 0.259696960449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478347778320312 × 2 - 1) × π
    -0.043304443359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.13604492
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259696960449219 × 2 - 1) × π
    0.480606079101562 × 3.1415926535     		Φ = 1.50986852733291
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13604492} λ = -0.13604492}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50986852733291))-π/2
    2×atan(4.52613569206422)-π/2
    2×1.35335052559081-π/2
    2.70670105118163-1.57079632675     		φ = 1.13590472
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13604492} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.794800°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13590472 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.082546°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62698 KachelY 34039 -0.13604492 1.13590472 -7.794800 65.082546
    Oben rechts KachelX + 1 62699 KachelY 34039 -0.13599698 1.13590472 -7.792053 65.082546
    Unten links KachelX 62698 KachelY + 1 34040 -0.13604492 1.13588453 -7.794800 65.081390
    Unten rechts KachelX + 1 62699 KachelY + 1 34040 -0.13599698 1.13588453 -7.792053 65.081390
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13590472-1.13588453) × R
    2.01900000000865e-05 × 6371000     		dl = 128.630490000551m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13590472-1.13588453) × R
    2.01900000000865e-05 × 6371000     		dr = 128.630490000551m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13604492--0.13599698) × cos(1.13590472) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.42131210034075 × 6371000     		do = 128.679560017592m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13604492--0.13599698) × cos(1.13588453) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.421330410883163 × 6371000     		du = 128.685152528559m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13590472)-sin(1.13588453))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.42131210034075-0.421330410883163)×R²
    abs(-0.13599698--0.13604492)×1.83105424135799e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.83105424135799e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.83105424135799e-05×40589641000000     		ar = 16552.474542407m²