Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62697 / 76229
↖ ↑ ↗
← S 28.161611°
W  7.797547°		 ← 269.27 m → S 28.161611°
W  7.794800°		 →
↑
269.24 m
↓
↑
269.24 m
↓
S 28.164033°
W  7.797547°		 ← 269.26 m →
72 497 m²		 S 28.164033°
W  7.794800°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62697 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76229 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478343963623047 y=0.581584930419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478343963623047 × 217)
    floor (0.478343963623047 × 131072)
    floor (62697.5)     		tx = 62697
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581584930419922 × 217)
    floor (0.581584930419922 × 131072)
    floor (76229.5)     		ty = 76229
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62697 / 76229 ti = "17/62697/76229"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62697/76229.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62697 ÷ 217
    62697 ÷ 131072     		x = 0.478340148925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76229 ÷ 217
    76229 ÷ 131072     		y = 0.581581115722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478340148925781 × 2 - 1) × π
    -0.0433197021484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.13609286
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581581115722656 × 2 - 1) × π
    -0.163162231445312 × 3.1415926535     		Φ = -0.51258926763726
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13609286} λ = -0.13609286}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.51258926763726))-π/2
    2×atan(0.598942746260821)-π/2
    2×0.5396417451995-π/2
    1.079283490399-1.57079632675     		φ = -0.49151284
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13609286} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.797547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49151284 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.161611°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62697 KachelY 76229 -0.13609286 -0.49151284 -7.797547 -28.161611
    Oben rechts KachelX + 1 62698 KachelY 76229 -0.13604492 -0.49151284 -7.794800 -28.161611
    Unten links KachelX 62697 KachelY + 1 76230 -0.13609286 -0.49155510 -7.797547 -28.164033
    Unten rechts KachelX + 1 62698 KachelY + 1 76230 -0.13604492 -0.49155510 -7.794800 -28.164033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49151284--0.49155510) × R
    4.22600000000162e-05 × 6371000     		dl = 269.238460000103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49151284--0.49155510) × R
    4.22600000000162e-05 × 6371000     		dr = 269.238460000103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13609286--0.13604492) × cos(-0.49151284) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.881619867522307 × 6371000     		do = 269.269400436682m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13609286--0.13604492) × cos(-0.49155510) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.881599921697964 × 6371000     		du = 269.263308468522m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49151284)-sin(-0.49155510))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.881619867522307-0.881599921697964)×R²
    abs(-0.13604492--0.13609286)×1.99458243429484e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.99458243429484e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.99458243429484e-05×40589641000000     		ar = 72496.8586134603m²