Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62696 / 30184
↖ ↑ ↗
← N 69.185993°
W  7.800293°		 ← 108.51 m → N 69.185993°
W  7.797547°		 →
↑
108.50 m
↓
↑
108.50 m
↓
N 69.185018°
W  7.800293°		 ← 108.51 m →
11 773 m²		 N 69.185018°
W  7.797547°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62696 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30184 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478336334228516 y=0.230289459228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478336334228516 × 217)
    floor (0.478336334228516 × 131072)
    floor (62696.5)     		tx = 62696
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230289459228516 × 217)
    floor (0.230289459228516 × 131072)
    floor (30184.5)     		ty = 30184
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62696 / 30184 ti = "17/62696/30184"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62696/30184.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62696 ÷ 217
    62696 ÷ 131072     		x = 0.47833251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30184 ÷ 217
    30184 ÷ 131072     		y = 0.23028564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47833251953125 × 2 - 1) × π
    -0.0433349609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.13614079
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23028564453125 × 2 - 1) × π
    0.5394287109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.69466527536823
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13614079} λ = -0.13614079}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69466527536823))-π/2
    2×atan(5.44482314373633)-π/2
    2×1.38915985480406-π/2
    2.77831970960812-1.57079632675     		φ = 1.20752338
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13614079} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.800293°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20752338 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.185993°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62696 KachelY 30184 -0.13614079 1.20752338 -7.800293 69.185993
    Oben rechts KachelX + 1 62697 KachelY 30184 -0.13609286 1.20752338 -7.797547 69.185993
    Unten links KachelX 62696 KachelY + 1 30185 -0.13614079 1.20750635 -7.800293 69.185018
    Unten rechts KachelX + 1 62697 KachelY + 1 30185 -0.13609286 1.20750635 -7.797547 69.185018
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20752338-1.20750635) × R
    1.70299999999735e-05 × 6371000     		dl = 108.498129999831m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20752338-1.20750635) × R
    1.70299999999735e-05 × 6371000     		dr = 108.498129999831m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13614079--0.13609286) × cos(1.20752338) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.355335481504743 × 6371000     		do = 108.505963963319m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13614079--0.13609286) × cos(1.20750635) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.355351400055629 × 6371000     		du = 108.510824884333m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20752338)-sin(1.20750635))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355335481504743-0.355351400055629)×R²
    abs(-0.13609286--0.13614079)×1.59185508858961e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.59185508858961e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.59185508858961e-05×40589641000000     		ar = 11772.9578845511m²