Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62694 / 34098
↖ ↑ ↗
← N 65.014186°
W  7.805786°		 ← 129.01 m → N 65.014186°
W  7.803039°		 →
↑
129.01 m
↓
↑
129.01 m
↓
N 65.013026°
W  7.805786°		 ← 129.02 m →
16 644 m²		 N 65.013026°
W  7.803039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62694 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34098 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478321075439453 y=0.260150909423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478321075439453 × 217)
    floor (0.478321075439453 × 131072)
    floor (62694.5)     		tx = 62694
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260150909423828 × 217)
    floor (0.260150909423828 × 131072)
    floor (34098.5)     		ty = 34098
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62694 / 34098 ti = "17/62694/34098"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62694/34098.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62694 ÷ 217
    62694 ÷ 131072     		x = 0.478317260742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34098 ÷ 217
    34098 ÷ 131072     		y = 0.260147094726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478317260742188 × 2 - 1) × π
    -0.043365478515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.13623667
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260147094726562 × 2 - 1) × π
    0.479705810546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.50704025025533
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13623667} λ = -0.13623667}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50704025025533))-π/2
    2×atan(4.51335261180391)-π/2
    2×1.35275396729815-π/2
    2.70550793459631-1.57079632675     		φ = 1.13471161
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13623667} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.805786°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13471161 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.014186°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62694 KachelY 34098 -0.13623667 1.13471161 -7.805786 65.014186
    Oben rechts KachelX + 1 62695 KachelY 34098 -0.13618873 1.13471161 -7.803039 65.014186
    Unten links KachelX 62694 KachelY + 1 34099 -0.13623667 1.13469136 -7.805786 65.013026
    Unten rechts KachelX + 1 62695 KachelY + 1 34099 -0.13618873 1.13469136 -7.803039 65.013026
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13471161-1.13469136) × R
    2.0250000000166e-05 × 6371000     		dl = 129.012750001057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13471161-1.13469136) × R
    2.0250000000166e-05 × 6371000     		dr = 129.012750001057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13623667--0.13618873) × cos(1.13471161) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.422393850421481 × 6371000     		do = 129.00995433642m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13623667--0.13618873) × cos(1.13469136) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.422412205185935 × 6371000     		du = 129.015560353936m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13471161)-sin(1.13469136))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422393850421481-0.422412205185935)×R²
    abs(-0.13618873--0.13623667)×1.83547644531101e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.83547644531101e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.83547644531101e-05×40589641000000     		ar = 16644.2906108352m²