Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62692 / 39630
↖ ↑ ↗
← N 57.777447°
W  7.811279°		 ← 162.82 m → N 57.777447°
W  7.808533°		 →
↑
162.84 m
↓
↑
162.84 m
↓
N 57.775982°
W  7.811279°		 ← 162.83 m →
26 515 m²		 N 57.775982°
W  7.808533°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62692 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39630 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478305816650391 y=0.302356719970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478305816650391 × 217)
    floor (0.478305816650391 × 131072)
    floor (62692.5)     		tx = 62692
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302356719970703 × 217)
    floor (0.302356719970703 × 131072)
    floor (39630.5)     		ty = 39630
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62692 / 39630 ti = "17/62692/39630"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62692/39630.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62692 ÷ 217
    62692 ÷ 131072     		x = 0.478302001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39630 ÷ 217
    39630 ÷ 131072     		y = 0.302352905273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478302001953125 × 2 - 1) × π
    -0.04339599609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.13633254
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302352905273438 × 2 - 1) × π
    0.395294189453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.24185332155717
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13633254} λ = -0.13633254}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24185332155717))-π/2
    2×atan(3.4620237660301)-π/2
    2×1.28960150219999-π/2
    2.57920300439998-1.57079632675     		φ = 1.00840668
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13633254} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.811279°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00840668 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.777447°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62692 KachelY 39630 -0.13633254 1.00840668 -7.811279 57.777447
    Oben rechts KachelX + 1 62693 KachelY 39630 -0.13628461 1.00840668 -7.808533 57.777447
    Unten links KachelX 62692 KachelY + 1 39631 -0.13633254 1.00838112 -7.811279 57.775982
    Unten rechts KachelX + 1 62693 KachelY + 1 39631 -0.13628461 1.00838112 -7.808533 57.775982
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00840668-1.00838112) × R
    2.55600000000911e-05 × 6371000     		dl = 162.84276000058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00840668-1.00838112) × R
    2.55600000000911e-05 × 6371000     		dr = 162.84276000058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13633254--0.13628461) × cos(1.00840668) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.533209319809209 × 6371000     		do = 162.821880311865m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13633254--0.13628461) × cos(1.00838112) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.533230942969348 × 6371000     		du = 162.82848320394m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00840668)-sin(1.00838112))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.533209319809209-0.533230942969348)×R²
    abs(-0.13628461--0.13633254)×2.16231601384287e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.16231601384287e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.16231601384287e-05×40589641000000     		ar = 26514.9019965146m²