Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62691 / 38948
↖ ↑ ↗
← N 58.762503°
W  7.814026°		 ← 158.39 m → N 58.762503°
W  7.811279°		 →
↑
158.38 m
↓
↑
158.38 m
↓
N 58.761079°
W  7.814026°		 ← 158.40 m →
25 087 m²		 N 58.761079°
W  7.811279°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62691 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38948 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478298187255859 y=0.297153472900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478298187255859 × 217)
    floor (0.478298187255859 × 131072)
    floor (62691.5)     		tx = 62691
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297153472900391 × 217)
    floor (0.297153472900391 × 131072)
    floor (38948.5)     		ty = 38948
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62691 / 38948 ti = "17/62691/38948"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62691/38948.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62691 ÷ 217
    62691 ÷ 131072     		x = 0.478294372558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38948 ÷ 217
    38948 ÷ 131072     		y = 0.297149658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478294372558594 × 2 - 1) × π
    -0.0434112548828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.13638048
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.297149658203125 × 2 - 1) × π
    0.40570068359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.27454628709805
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13638048} λ = -0.13638048}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27454628709805))-π/2
    2×atan(3.5770780753914)-π/2
    2×1.29819774271278-π/2
    2.59639548542555-1.57079632675     		φ = 1.02559916
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13638048} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.814026°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02559916 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.762503°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62691 KachelY 38948 -0.13638048 1.02559916 -7.814026 58.762503
    Oben rechts KachelX + 1 62692 KachelY 38948 -0.13633254 1.02559916 -7.811279 58.762503
    Unten links KachelX 62691 KachelY + 1 38949 -0.13638048 1.02557430 -7.814026 58.761079
    Unten rechts KachelX + 1 62692 KachelY + 1 38949 -0.13633254 1.02557430 -7.811279 58.761079
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02559916-1.02557430) × R
    2.48600000001264e-05 × 6371000     		dl = 158.383060000806m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02559916-1.02557430) × R
    2.48600000001264e-05 × 6371000     		dr = 158.383060000806m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13638048--0.13633254) × cos(1.02559916) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.518586683133891 × 6371000     		do = 158.389721450302m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13638048--0.13633254) × cos(1.02557430) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.518607938896615 × 6371000     		du = 158.396213507361m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02559916)-sin(1.02557430))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.518586683133891-0.518607938896615)×R²
    abs(-0.13633254--0.13638048)×2.12557627243815e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.12557627243815e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.12557627243815e-05×40589641000000     		ar = 25086.7628732206m²