Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62691 / 28771
↖ ↑ ↗
← N 70.522150°
W  7.814026°		 ← 101.84 m → N 70.522150°
W  7.811279°		 →
↑
101.81 m
↓
↑
101.81 m
↓
N 70.521234°
W  7.814026°		 ← 101.85 m →
10 369 m²		 N 70.521234°
W  7.811279°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62691 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28771 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478298187255859 y=0.219509124755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478298187255859 × 217)
    floor (0.478298187255859 × 131072)
    floor (62691.5)     		tx = 62691
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219509124755859 × 217)
    floor (0.219509124755859 × 131072)
    floor (28771.5)     		ty = 28771
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62691 / 28771 ti = "17/62691/28771"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62691/28771.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62691 ÷ 217
    62691 ÷ 131072     		x = 0.478294372558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28771 ÷ 217
    28771 ÷ 131072     		y = 0.219505310058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478294372558594 × 2 - 1) × π
    -0.0434112548828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.13638048
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.219505310058594 × 2 - 1) × π
    0.560989379882812 × 3.1415926535     		Φ = 1.76240011453136
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13638048} λ = -0.13638048}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76240011453136))-π/2
    2×atan(5.82640466467478)-π/2
    2×1.40082001935218-π/2
    2.80164003870435-1.57079632675     		φ = 1.23084371
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13638048} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.814026°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23084371 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.522150°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62691 KachelY 28771 -0.13638048 1.23084371 -7.814026 70.522150
    Oben rechts KachelX + 1 62692 KachelY 28771 -0.13633254 1.23084371 -7.811279 70.522150
    Unten links KachelX 62691 KachelY + 1 28772 -0.13638048 1.23082773 -7.814026 70.521234
    Unten rechts KachelX + 1 62692 KachelY + 1 28772 -0.13633254 1.23082773 -7.811279 70.521234
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23084371-1.23082773) × R
    1.59800000001376e-05 × 6371000     		dl = 101.808580000876m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23084371-1.23082773) × R
    1.59800000001376e-05 × 6371000     		dr = 101.808580000876m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13638048--0.13633254) × cos(1.23084371) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.333442421028785 × 6371000     		do = 101.8418981901m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13638048--0.13633254) × cos(1.23082773) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.33345748645826 × 6371000     		du = 101.846499560046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23084371)-sin(1.23082773))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333442421028785-0.33345748645826)×R²
    abs(-0.13633254--0.13638048)×1.50654294746588e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.50654294746588e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.50654294746588e-05×40589641000000     		ar = 10368.6132691115m²