Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62690 / 28769
↖ ↑ ↗
← N 70.523982°
W  7.816773°		 ← 101.83 m → N 70.523982°
W  7.814026°		 →
↑
101.81 m
↓
↑
101.81 m
↓
N 70.523066°
W  7.816773°		 ← 101.84 m →
10 368 m²		 N 70.523066°
W  7.814026°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62690 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28769 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478290557861328 y=0.219493865966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478290557861328 × 217)
    floor (0.478290557861328 × 131072)
    floor (62690.5)     		tx = 62690
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219493865966797 × 217)
    floor (0.219493865966797 × 131072)
    floor (28769.5)     		ty = 28769
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62690 / 28769 ti = "17/62690/28769"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62690/28769.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62690 ÷ 217
    62690 ÷ 131072     		x = 0.478286743164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28769 ÷ 217
    28769 ÷ 131072     		y = 0.219490051269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478286743164062 × 2 - 1) × π
    -0.043426513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13642842
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.219490051269531 × 2 - 1) × π
    0.561019897460938 × 3.1415926535     		Φ = 1.7624959883306
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13642842} λ = -0.13642842}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7624959883306))-π/2
    2×atan(5.82696329100428)-π/2
    2×1.40083600282559-π/2
    2.80167200565119-1.57079632675     		φ = 1.23087568
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13642842} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.816773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23087568 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.523982°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62690 KachelY 28769 -0.13642842 1.23087568 -7.816773 70.523982
    Oben rechts KachelX + 1 62691 KachelY 28769 -0.13638048 1.23087568 -7.814026 70.523982
    Unten links KachelX 62690 KachelY + 1 28770 -0.13642842 1.23085970 -7.816773 70.523066
    Unten rechts KachelX + 1 62691 KachelY + 1 28770 -0.13638048 1.23085970 -7.814026 70.523066
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23087568-1.23085970) × R
    1.59800000001376e-05 × 6371000     		dl = 101.808580000876m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23087568-1.23085970) × R
    1.59800000001376e-05 × 6371000     		dr = 101.808580000876m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13642842--0.13638048) × cos(1.23087568) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.333412280486584 × 6371000     		do = 101.832692492695m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13642842--0.13638048) × cos(1.23085970) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.333427346086405 × 6371000     		du = 101.837293914668m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23087568)-sin(1.23085970))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333412280486584-0.333427346086405)×R²
    abs(-0.13638048--0.13642842)×1.50655998201188e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.50655998201188e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.50655998201188e-05×40589641000000     		ar = 10367.6760527816m²