Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6269 / 6234
↖ ↑ ↗
← S 68.040461°
E 95.493164°		 ← 1 827.31 m → S 68.040461°
E 95.537110°		 →
↑
1 826.69 m
↓
↑
1 826.69 m
↓
S 68.056889°
E 95.493164°		 ← 1 826.01 m →
3 336 753 m²		 S 68.056889°
E 95.537110°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6269 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6234 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.76531982421875 y=0.76104736328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.76531982421875 × 213)
    floor (0.76531982421875 × 8192)
    floor (6269.5)     		tx = 6269
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.76104736328125 × 213)
    floor (0.76104736328125 × 8192)
    floor (6234.5)     		ty = 6234
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6269 / 6234 ti = "13/6269/6234"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6269/6234.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6269 ÷ 213
    6269 ÷ 8192     		x = 0.7652587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6234 ÷ 213
    6234 ÷ 8192     		y = 0.760986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7652587890625 × 2 - 1) × π
    0.530517578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.66667013
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760986328125 × 2 - 1) × π
    -0.52197265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.63982546220288
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66667013} λ = 1.66667013}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63982546220288))-π/2
    2×atan(0.19401390209498)-π/2
    2×0.191633126633191-π/2
    0.383266253266382-1.57079632675     		φ = -1.18753007
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66667013} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.493164°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18753007 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.040461°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6269 KachelY 6234 1.66667013 -1.18753007 95.493164 -68.040461
    Oben rechts KachelX + 1 6270 KachelY 6234 1.66743712 -1.18753007 95.537110 -68.040461
    Unten links KachelX 6269 KachelY + 1 6235 1.66667013 -1.18781679 95.493164 -68.056889
    Unten rechts KachelX + 1 6270 KachelY + 1 6235 1.66743712 -1.18781679 95.537110 -68.056889
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18753007--1.18781679) × R
    0.000286720000000074 × 6371000     		dl = 1826.69312000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18753007--1.18781679) × R
    0.000286720000000074 × 6371000     		dr = 1826.69312000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66667013-1.66743712) × cos(-1.18753007) × R
    0.000766990000000023 × 0.373951742627355 × 6371000     		do = 1827.31268113243m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66667013-1.66743712) × cos(-1.18781679) × R
    0.000766990000000023 × 0.373685809322857 × 6371000     		du = 1826.01319982442m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18753007)-sin(-1.18781679))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373951742627355-0.373685809322857)×R²
    abs(1.66743712-1.66667013)×0.000265933304497423×R²
    0.000766990000000023×0.000265933304497423×6371000²
    0.000766990000000023×0.000265933304497423×40589641000000     		ar = 3336752.64878962m²