Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62689 / 34813
↖ ↑ ↗
← N 64.171697°
W  7.819519°		 ← 133.04 m → N 64.171697°
W  7.816773°		 →
↑
133.09 m
↓
↑
133.09 m
↓
N 64.170500°
W  7.819519°		 ← 133.04 m →
17 707 m²		 N 64.170500°
W  7.816773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62689 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34813 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478282928466797 y=0.265605926513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478282928466797 × 217)
    floor (0.478282928466797 × 131072)
    floor (62689.5)     		tx = 62689
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.265605926513672 × 217)
    floor (0.265605926513672 × 131072)
    floor (34813.5)     		ty = 34813
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62689 / 34813 ti = "17/62689/34813"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62689/34813.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62689 ÷ 217
    62689 ÷ 131072     		x = 0.478279113769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34813 ÷ 217
    34813 ÷ 131072     		y = 0.265602111816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478279113769531 × 2 - 1) × π
    -0.0434417724609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.13647635
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.265602111816406 × 2 - 1) × π
    0.468795776367188 × 3.1415926535     		Φ = 1.47276536702699
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13647635} λ = -0.13647635}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.47276536702699))-π/2
    2×atan(4.3612790177089)-π/2
    2×1.34540186290641-π/2
    2.69080372581281-1.57079632675     		φ = 1.12000740
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13647635} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.819519°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12000740 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.171697°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62689 KachelY 34813 -0.13647635 1.12000740 -7.819519 64.171697
    Oben rechts KachelX + 1 62690 KachelY 34813 -0.13642842 1.12000740 -7.816773 64.171697
    Unten links KachelX 62689 KachelY + 1 34814 -0.13647635 1.11998651 -7.819519 64.170500
    Unten rechts KachelX + 1 62690 KachelY + 1 34814 -0.13642842 1.11998651 -7.816773 64.170500
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12000740-1.11998651) × R
    2.08900000000511e-05 × 6371000     		dl = 133.090190000326m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12000740-1.11998651) × R
    2.08900000000511e-05 × 6371000     		dr = 133.090190000326m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13647635--0.13642842) × cos(1.12000740) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.435675785521511 × 6371000     		do = 133.038842288698m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13647635--0.13642842) × cos(1.11998651) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.435694588592034 × 6371000     		du = 133.044584032483m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12000740)-sin(1.11998651))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.435675785521511-0.435694588592034)×R²
    abs(-0.13642842--0.13647635)×1.8803070522877e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.8803070522877e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.8803070522877e-05×40589641000000     		ar = 17706.5468832868m²