Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62686 / 34790
↖ ↑ ↗
← N 64.199205°
W  7.827759°		 ← 132.91 m → N 64.199205°
W  7.825012°		 →
↑
132.90 m
↓
↑
132.90 m
↓
N 64.198010°
W  7.827759°		 ← 132.91 m →
17 664 m²		 N 64.198010°
W  7.825012°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62686 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34790 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478260040283203 y=0.265430450439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478260040283203 × 217)
    floor (0.478260040283203 × 131072)
    floor (62686.5)     		tx = 62686
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.265430450439453 × 217)
    floor (0.265430450439453 × 131072)
    floor (34790.5)     		ty = 34790
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62686 / 34790 ti = "17/62686/34790"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62686/34790.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62686 ÷ 217
    62686 ÷ 131072     		x = 0.478256225585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34790 ÷ 217
    34790 ÷ 131072     		y = 0.265426635742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478256225585938 × 2 - 1) × π
    -0.043487548828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.13662016
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.265426635742188 × 2 - 1) × π
    0.469146728515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.47386791571825
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13662016} λ = -0.13662016}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.47386791571825))-π/2
    2×atan(4.36609019197167)-π/2
    2×1.34564192064391-π/2
    2.69128384128781-1.57079632675     		φ = 1.12048751
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13662016} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.827759°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12048751 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.199205°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62686 KachelY 34790 -0.13662016 1.12048751 -7.827759 64.199205
    Oben rechts KachelX + 1 62687 KachelY 34790 -0.13657223 1.12048751 -7.825012 64.199205
    Unten links KachelX 62686 KachelY + 1 34791 -0.13662016 1.12046665 -7.827759 64.198010
    Unten rechts KachelX + 1 62687 KachelY + 1 34791 -0.13657223 1.12046665 -7.825012 64.198010
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12048751-1.12046665) × R
    2.08600000000114e-05 × 6371000     		dl = 132.899060000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12048751-1.12046665) × R
    2.08600000000114e-05 × 6371000     		dr = 132.899060000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13662016--0.13657223) × cos(1.12048751) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.435243586554077 × 6371000     		do = 132.906865134638m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13662016--0.13657223) × cos(1.12046665) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.435262366983027 × 6371000     		du = 132.912599964546m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12048751)-sin(1.12046665))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.435243586554077-0.435262366983027)×R²
    abs(-0.13657223--0.13662016)×1.87804289497606e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.87804289497606e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.87804289497606e-05×40589641000000     		ar = 17663.5785215287m²